Giải bài tập 13 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho bốn điểm $A\left( { - 2;6;3} \right)$, $B\left( {1;0;6} \right)$, $C\left( {0;2; - 1} \right)$, $D\left( {1;4;0} \right)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$. Suy ra $ABCD$ là một tứ diện.

b) Tính chiều cao $AH$ của tứ diện $ABCD$.

c) Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ chứa $AB$ và song song với $CD$.

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng  $\left( {BCD} \right)$ đi qua ba điểm $B\left( {1;0;6} \right)$, $C\left( {0;2; - 1} \right)$, $D\left( {1;4;0} \right)$ nên sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;2; - 7} \right)$ và $\overrightarrow {BD}  = \left( {0;4; - 6} \right)$. Suy ra một vectơ pháp tuyến của $\left( {BCD} \right)$ là $\vec n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {16; - 6; - 4} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ là $16\left( {x - 0} \right) - 6\left( {y - 2} \right) - 4\left( {z + 1} \right) = 0$, hay $8x - 3y - 2z + 4 = 0$.

Thay toạ độ điểm $A\left( { - 2;6;3} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$, ta thấy không thoả mãn, do $8.\left( { - 2} \right) - 3.6 - 2.3 + 4 =  - 36 \ne 0$. Vậy điểm $A$ không nằm trên $\left( {BCD} \right)$, điều đó đồng nghĩa $ABCD$ là một tứ diện.

b) Chiều cao $AH$ của tứ diện $ABCD$ chính là khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$, khoảng cách đó bằng $d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {8.\left( { - 2} \right) - 3.6 - 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {77} }}$

c) Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ chứa $AB$ và song song với $CD$ nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 6;3} \right)$ và $\overrightarrow {CD}  = \left( {1;2;1} \right)$. Suy ra một vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha  \right)$ là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 12;0;12} \right)$. Vậy phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là $- 12\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 12\left( {z - 6} \right) = 0$, hay $- x + z - 5 = 0$.