Processing math: 60%

Giải bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Toán 12 Kết nối tri thức


Giải bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y=x+1x2+1 trên đoạn [1;2]; b) y=x+1x2

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y=x+1x2+1 trên đoạn [1;2];

b) y=x+1x2

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử y=f(x) là hàm số liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn [a;b] mà đạo hàm f(x)=0.

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b]:

1. Tìm các điểm x1,x2,...xn(a;b), tại đó f(x)=0 hoặc không tồn tại.

2. Tính f(x1);f(x2);...;f(xn), f(a) và f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

Ta có: M=max

Lời giải chi tiết

a) Ta có: y' = {\left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)'} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - \frac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 - {x^2} - x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }}

y' = 0 \Rightarrow x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right]

Ta có: y\left( { - 1} \right) = 0;y\left( 1 \right) = \frac{2}{{\sqrt 2 }}=\sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = \frac{3}{{\sqrt 5 }}

Do đó, \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = 0

b) Tập xác định của hàm số là: D = \left[ { - 1;1} \right]

y' = 1 + \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }},y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {1 - {x^2}}  - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} = {x^2}\\ - 1 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}

y\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = 0;y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 ,y\left( { - 1} \right) =  - 1;y\left( 1 \right) = 1

Do đó, \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) =  - 1


Cùng chủ đề:

Giải bài tập 12 trang 91 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 13 trang 91 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 14 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 15 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 16 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 18 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 19 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 20 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 21 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giải bài tập 22 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức