Giải bài tập 2.10 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó: a) →AA′ và →C′C; b) →AA′ và →BC; c) →AC và →B′A′.
Đề bài
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó: a) →AA′ và →C′C; b) →AA′ và →BC; c) →AC và →B′A′.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ →a, →b khác →0. Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho→OA=→a,→OB=→b. Khi đó, góc ^AOB(00≤^AOB≤1800) được gọi là góc giữa hai vectơ →a và →b, kí hiệu là (→a,→b).
+ Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ →a và →b đều khác →0. Tích vô hướng của hai vectơ →a và →b là một số, kí hiệu là →a⋅→b, được xác định bởi công thức sau: →a⋅→b=|→a|⋅|→b|⋅cos(→a,→b).
Lời giải chi tiết
a) Vì AA’//CC’ nên hai vectơ →AA′ và →C′C ngược hướng nhau.
Suy ra, (→AA′,→C′C)=1800.
Do đó, →AA′.→C′C=|→AA′|.|→C′C|.cos(→AA′,→C′C)=2.2.cos1800=−4
b) Vì A’ADD’ là hình chữ nhật nên ^A′AD=900
Vì ABCD là hình vuông nên →BC=→AD. Do đó, (→AA′,→BC)=(→AA′,→AD)=^A′AD=900
Ta có: →AA′.→BC=→AA′.→AD=|→AA′|.|→AD|.cos(→AA′,→AD)=2.1.cos900=0
c) Vì A’ABB’ là hình chữ nhật nên →B′A′=→BA.
Vì ABCD là hình vuông nên ^CAB=450 và AC=√2
Ta có: →AC.→B′A′=−→AC.→AB=−|→AC|.|→AB|.cos(→AC,→AB)=−√2.1.cos450=−1