Giải bài tập 2.6 trang 58 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu →SA+→SC=→SB+→SD.
Đề bài
Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu →SA+→SC=→SB+→SD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì →AB+→BC=→AC
Sử dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì →AB+→AD=→AC
Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ →a và →b được gọi là bằng nhau, kí hiệu →a=→b nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết
Chứng minh: Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì →SA+→SC=→SB+→SD
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Khi đó, O là trung điểm của AC, BD.
Suy ra →OC=−→OA,→OD=−→OB
Ta có: →SA+→SC=→SO+→OA+→SO+→OC=2→SO+(→OA−→OA)=2→SO
→SB+→SD=→SO+→OB+→SO+→OD=2→SO+(→OB−→OB)=2→SO
Do đó, →SA+→SC=→SB+→SD
Chứng minh: Nếu →SA+→SC=→SB+→SD thì tứ giác ABCD là hình bình hành:
Ta có: →SA+→SC=→SB+→SD⇔→SA−→SB=→SD−→SC⇔→BA=→CD
Suy ra, hai vectơ →BA và →CD cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.
Suy ra, AB=CD, AB//CD. Khi đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.
Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu →SA+→SC=→SB+→SD