Giải bài tập 2.17 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D, B, A’ có tọa độ lần lượt là (2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 3) (H.2.45). Xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D, B, A’ có tọa độ lần lượt là (2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 3) (H.2.45). Xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ các điểm: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho →OM=x→i+y→j+z→k được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết M=(x;y;z) hoặc M(x;y;z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.
Lời giải chi tiết
Vì A trùng gốc O nên A(0; 0; 0).
Vì D thuộc tia Ox nên hai vectơ →OD và →i cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực m sao cho →OD=m→i. Mà D(2; 0; 0) nên m=2.
Vì B thuộc tia Oy nên hai vectơ →OB và →j cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực n sao cho →OB=n→j. Mà B(0; 4; 0) nên n=4
Vì A’ thuộc tia Oz nên hai vectơ →OA′ và →k cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực p sao cho →OA′=p→k. Mà A’(0; 0; 3) nên p=3.
Vì ODCB là hình bình hành nên →OC=→OD+→OB=m→i+n→j=2→i+4→j. Do đó, C(2; 4; 0).
Vì OA’B’B là hình bình hành nên →OB′=→OA′+→OB=p→k+n→j=3→k+4→j. Do đó, B’(0; 4; 3).
Vì OA’D’D là hình bình hành nên →OD′=→OA′+→OD=m→i+p→k=2→i+3→k. Do đó, D’(2; 0; 3).
Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp ta có:
→OC′=→OD+→OB+→OA′=m→i+n→j+p→k=2→i+4→j+3→k. Do đó, C’(2; 4; 3).