Giải bài tập 2.22 trang 72 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;1),B(0;−3;1) và C(4;−1;4). a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC. b) Chứng minh rằng ^BAC=900. c) Tính ^ABC.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;1),B(0;−3;1) và C(4;−1;4).
a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng ^BAC=900.
c) Tính ^ABC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(xA;yA;zA),B(xB;yB;zB) và C(xC;yC;zC) thì tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: (xA+xB+xC3;yA+yB+yC3;zA+zB+zC3).
b) Sử dụng kiến thức về nhận xét biểu thức tọa độ tích vô hướng trong không gian để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho →a=(x;y;z) và →b=(x′;y′;z′) là hai vectơ khác →0. Hai vectơ →a và →b vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu xx′+yy′+zz′=0
c) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) thì AB=|→AB|=√(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2
Lời giải chi tiết
a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó, {xG=xA+xB+xC3=53yG=yA+yB+yC3=−43zG=zA+zB+zC3=2.
Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: G(53;−43;2).
b) Ta có: →AB(−1;−3;0),→AC(3;−1;3)
Vì →AB.→AC=(−1).3+(−3)(−1)+0.3=0 nên →AB⊥→AC. Do đó, ^BAC=900.
c) Ta có: BA=√12+32=√10;AC=√32+(−1)2+32=√19
Vì tam giác ABC vuông tại A nên tan^ABC=ACBA=√19√10⇒^ABC≈540