Giải bài tập 2.21 trang 72 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(−4;3;3),N(4;−4;2) và P(3;6;−1). a) Tìm tọa độ của các vectơ →MN,→MP, từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ của vectơ →NM+→NP, từ đó suy ra tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành. c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(−4;3;3),N(4;−4;2) và P(3;6;−1).
a) Tìm tọa độ của các vectơ →MN,→MP, từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ của vectơ →NM+→NP, từ đó suy ra tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.
c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(xM,yM,zM) và N(xN;yN;zN).
Khi đó, →MN=(xN−xM;yN−yM;zN−zM).
+ Sử dụng kiến thức về hai vectơ không cùng phương để chứng minh ba điểm không thẳng hàng: Nếu hai vectơ →MN,→MP không cùng phương thì ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
b) Sử dụng quy tắc hình bình hành để tìm tọa độ điểm Q: Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì →NM+→NP=→NQ
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ →a=(x;y;z) và →b=(x′;y′;z′) thì →a+→b=(x+x′;y+y′;z+z′)
c) Sử dụng kiến về chu vi hình bình hành để tính: Chu vi hình bình hành MNPQ là: C=2(MN+NP).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: →MN=(4−(−4);−4−3;2−3)=(8;−7;−1),→MP(7;3;−4)
Vì 87≠−73≠−1−4 nên hai vectơ →MN,→MP không cùng phương. Do đó, ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
b)
Ta có: →NM(−8;7;1),→NP(−1;10;−3).
Suy ra: →NM+→NP=((−8)+(−1);7+10;1−3)=(−9;17;−2)
Gọi tọa độ điểm Q là Q(x; y; z), ta có: →NQ(x−4;y+4;z−2)
Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì →NM+→NP=→NQ
Suy ra: {x−4=−9y+4=17z−2=−2⇒{x=−5y=13z=0. Vậy Q(−5;13;0)
c) Ta có: NM=|→NM|=√(−8)2+72+12=√114, NP=|→NP|=√(−1)2+102+(−3)2=√110
Vậy chu vi hình bình hành MNPQ là: C=2(NP+NM)=2(√114+√110)