Giải bài tập 2 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho đường tròn $\left( O \right)$ và dây $AB$. Điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $\left( O \right)$ thỏa mãn điểm $B$ nằm trong góc $MAO$ và $\widehat {MAB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}$. Chứng minh đường thẳng $MA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $OA = OB = R$ nên tam giác $OAB$ cân tại $O$ suy ra $\widehat {OAB} = \widehat {OBA}$.

Xét tam giác $OAB$ cân tại $O$ có:

$\begin{array}{l}\widehat {OAB} + \widehat {OBA} + \widehat {AOB} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {OAB} + \widehat {OAB} + \widehat {AOB} = 180^\circ \\ \Rightarrow 2\widehat {OAB} = 180^\circ  - \widehat {AOB} \Rightarrow \widehat {OAB} = 90^\circ  - \frac{1}{2}\widehat {AOB}.\end{array}$

Ta có: $\widehat {OAM} = \widehat {OAB} + \widehat {BAM} = 90^\circ  - \frac{1}{2}\widehat {AOB} + \frac{1}{2}\widehat {AOB} = 90^\circ .$

Suy ra $OA \bot AM$. Vậy $MA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.