Giải bài tập 2 trang 69 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho tam giác ABC ( AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính. Từ điểm O vẽ đường thẳng song song với AC và cắt đường tròn (O) tại I (điểm I thuộc cung nhỏ CB). a) Chứng minh OI vuông góc với BC. b) Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và cắt OI tại M. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Đề bài
Cho tam giác ABC ( AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính. Từ điểm O vẽ đường thẳng song song với AC và cắt đường tròn (O) tại I (điểm I thuộc cung nhỏ CB).
a) Chứng minh OI vuông góc với BC.
b) Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và cắt OI tại M. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Đọc kĩ dữ kiện đề bài để vẽ hình.
- Chứng minh tam giác ABC vuông tại C và OI // AC để suy ra OI vuông góc với BC.
- Chứng minh ΔCOM = ΔBOM (c – g – c) nên ^OBM=^OCM=90o
Suy ra MC là tiếp tuyến đường tròn (O).
Lời giải chi tiết
a) Xét đường tròn (O) có:
^ACB là góc nội tiếp chắn cung AB, mà AB là đường kính của đường tròn (O).
^ACB = 90 o hay tam giác ABC vuông tại C, mà OI // AC (giả thiết).
Suy ra OI ⊥ BC (quan hệ từ vuông góc – song song).
b) Vì OB = OC = R suy ra tam giác OBC cân tại O mà OI là đường cao của tam giác OBC.
Suy ra OI đồng thời là phân giác của tam giác OBC.
Suy ra ^COI=^BOI hay ^COM=^BOM
Xét Δ COM và Δ BOM có:
OC = OB = R;
^COM=^BOM (chứng minh trên);
OM chung.
Suy ra ΔCOM = ΔBOM (c – g – c).
Do đó, ^OBM=^OCM (hai góc tương ứng)
Mà ^OBM = 90 o (do MB là tiếp tuyến của đường tròn).
Suy ra ^OCM = 90 o hay OM ⊥ MC mà C thuộc đường tròn (O)
Suy ra MC là tiếp tuyến đường tròn (O).