Giải bài tập 25 trang 15 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tìm: a) (int {left( {5sin x - 6cos x} right)dx} ); b) (int {{{sin }^2}2{rm{x}}dx} + int {{{cos }^2}2{rm{x}}dx} ); c) (int {{{sin }^2}frac{x}{2}dx} ); d) (int {{{left( {sin frac{x}{2} + cos frac{x}{2}} right)}^2}dx} ); e) (int {{{cos }^4}frac{x}{2}dx} - int {{{sin }^4}frac{x}{2}dx} ); g) (int {{{tan }^2}xdx} ).
Đề bài
Tìm:
a) \(\int {\left( {5\sin x - 6\cos x} \right)dx} \);
b) \(\int {{{\sin }^2}2{\rm{x}}dx} + \int {{{\cos }^2}2{\rm{x}}dx} \);
c) \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} \);
d) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}dx} \);
e) \(\int {{{\cos }^4}\frac{x}{2}dx} - \int {{{\sin }^4}\frac{x}{2}dx} \);
g) \(\int {{{\tan }^2}xdx} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng biến đổi lượng giác.
‒ Sử dụng các công thức:
• \(\int {\cos xdx} = \sin x + C\).
• \(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\).
• \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Lời giải chi tiết
a) \(\int {\left( {5\sin x - 6\cos x} \right)dx} = 5\left( { - \cos x} \right) - 6\sin x + C = - 5\cos x - 6\sin x + C\).
b) \(\int {{{\sin }^2}2{\rm{x}}dx} + \int {{{\cos }^2}2{\rm{x}}dx} = \int {\left( {{{\sin }^2}2{\rm{x}} + {{\cos }^2}2{\rm{x}}} \right)dx} = \int {\left( {\frac{{1 - \cos 4{\rm{x}}}}{2} + \frac{{1 + \cos 4{\rm{x}}}}{2}} \right)dx} = \int {1dx} = x + C\).
c) \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 - \cos x}}{2}dx} = \int {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos x} \right)dx} = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\sin x + C = \frac{{x - \sin x}}{2} + C\).
d)
\(\begin{array}{l}\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}dx} = \int {\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + 2.\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} \\ = \int {\left( {\frac{{1 - \cos x}}{2} + \sin x + \frac{{1 + \cos x}}{2}} \right)dx} = \int {\left( {1 + \sin x} \right)dx} = x - \cos x + C\end{array}\)
e)
\(\begin{array}{l}\int {{{\cos }^4}\frac{x}{2}dx} - \int {{{\sin }^4}\frac{x}{2}dx} = \int {\left( {{{\cos }^4}\frac{x}{2} - {{\sin }^4}\frac{x}{2}} \right)dx} = \int {\left( {{{\cos }^2}\frac{x}{2} - {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)\left( {{{\cos }^2}\frac{x}{2} + {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} \\ = \int {\cos x.1dx} = \int {\cos xdx} = \sin x + C\end{array}\)
g) \(\int {{{\tan }^2}xdx} = \int {\left( {{{\tan }^2}x + 1 - 1} \right)dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} = \tan x - x + C\).