Giải bài tập 27 trang 93 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;−2;3),B(3;0;−1). a) Viết phương trình mặt phẳng (OAB). b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho |→MA+→MB| nhỏ nhất.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;−2;3),B(3;0;−1).
a) Viết phương trình mặt phẳng (OAB).
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho |→MA+→MB| nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương →u,→v có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm vectơ pháp tuyến là →n=[→u,→v].
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến→n=[→u,→v].
Sử dụng kiến thức về tọa độ trung điểm của đoạn thẳng để tính: Nếu I là trung điểm của AB thì {xI=xA+xB2yI=yA+yB2zI=zA+zB2
Lời giải chi tiết
a) Ta có: →OA(1;−2;3),→OB(3;0;−1)
[→OA,→OB]=(|−230−1|,|31−13|,|1−230|)=(2;10;6)
Mặt phẳng (AOB) có hai vectơ chỉ phương là →OA,→OB nên mặt phẳng (OAB) nhận 12[→OA,→OB]=(1;5;3) làm một vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng (OAB) là: x+5y+3z=0.
b) Vì I là trung điểm của AB nên: {xI=xA+xB2=1+32=2yI=yA+yB2=−2+02=−1zI=zA+zB2=3−12=1. Vậy I(2;−1;1)
c) Vì I là trung điểm của AB nên →MA+→MB=2→MI.
Do đó, |→MA+→MB|=2|→MI|=2MI
Để |→MA+→MB| nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất.
Mà M thuộc mặt phẳng (Oxy) nên MI nhỏ nhất khi MI⊥(Oxy). Hay M là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (Oxy). Do đó, M(2;−1;0).