Giải bài tập 27 trang 93 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( {3;0; - 1} \right)\). a) Viết phương trình mặt phẳng (OAB). b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( {3;0; - 1} \right)\).
a) Viết phương trình mặt phẳng (OAB).
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Sử dụng kiến thức về tọa độ trung điểm của đoạn thẳng để tính: Nếu I là trung điểm của AB thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {OA} \left( {1; - 2;3} \right),\overrightarrow {OB} \left( {3;0; - 1} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\0&{ - 1}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\3&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {2;10;6} \right)\)
Mặt phẳng (AOB) có hai vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) nên mặt phẳng (OAB) nhận \(\frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {1;5;3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng (OAB) là: \(x + 5y + 3z = 0\).
b) Vì I là trung điểm của AB nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{ - 2 + 0}}{2} = - 1\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{3 - 1}}{2} = 1\end{array} \right.\). Vậy \(I\left( {2; - 1;1} \right)\)
c) Vì I là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \).
Do đó, \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI\)
Để \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất.
Mà M thuộc mặt phẳng (Oxy) nên MI nhỏ nhất khi \(MI \bot \left( {Oxy} \right)\). Hay M là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (Oxy). Do đó, \(M\left( {2; - 1;0} \right)\).