Giải bài tập 26 trang 93 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( { - 1;1;2} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 - 2t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\). a) Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A và song song với đường thẳng d. b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( { - 1;1;2} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 - 2t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\).
a) Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A và song song với đường thẳng d.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số, \(t \in \mathbb{R}\)).
Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để viết phương trình đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \).
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow u \left( {1; - 2;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Vì đường thẳng d’ song song với đường thẳng d nên đường thẳng d’ nhận \(\overrightarrow u \left( {1; - 2;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương. Lại có, đường thẳng d’ đi qua A nên đường thẳng d’ có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{2}\) và phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\)
b) Điểm \(B\left( {2;3; - 1} \right)\) thuộc đường thẳng d. Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {3;2; - 3} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}\\{ - 2}&2\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&3\\2&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 9; - 8} \right)\)
Mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d nên mặt phẳng (P) nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow u } \right] = \left( { - 2; - 9; - 8} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là:
\(2\left( {x + 1} \right) + 9\left( {y - 1} \right) + 8\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 9y + 8z - 23 = 0\)