Giải bài tập 28 trang 93 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, có một nguồn sáng phát ra từ điểm S(2; 3; 5) và một đoạn dây thẳng nối từ điểm A(1; 2; 1) đến điểm B(3; 1; 2). Dưới nguồn sáng, đoạn dây trên có bóng trên mặt phẳng (Oxy) là một đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng đó.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, có một nguồn sáng phát ra từ điểm S(2; 3; 5) và một đoạn dây thẳng nối từ điểm A(1; 2; 1) đến điểm B(3; 1; 2). Dưới nguồn sáng, đoạn dây trên có bóng trên mặt phẳng (Oxy) là một đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số, \(t \in \mathbb{R}\)).
Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)
Lời giải chi tiết
Phương trình mặt phẳng Oxy: \(z = 0\)
Đường thẳng SA đi qua điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {SA} \left( { - 1; - 1; - 4} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng SA là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 - t\\z = 1 - 4t\end{array} \right.\)
Gọi N là giao điểm của đường thẳng SA và mặt phẳng (Oxy) nên \(N\left( {1 - t;2 - t;1 - 4t} \right)\)
Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (Oxy) ta có: \(1 - 4t = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{4}\)
Khi đó, \(N\left( {\frac{3}{4};\frac{7}{4};0} \right)\).
Đường thẳng SB đi qua điểm \(B\left( {3;1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {SB} \left( {1; - 2; - 3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng SB là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 1 - 2t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\)
Gọi P là giao điểm của đường thẳng SB và mặt phẳng (Oxy) nên \(P\left( {3 + t;1 - 2t;2 - 3t} \right)\)
Thay tọa độ điểm P vào phương trình mặt phẳng (Oxy) ta có: \(2 - 3t = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{3}\)
Khi đó, \(P\left( {\frac{{11}}{3};\frac{{ - 1}}{3};0} \right)\)
Ta có: \(NP = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4} - \frac{{11}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{7}{4} + \frac{1}{3}} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt {74} }}{{12}}\)
Vậy độ dài bóng của đoạn dây trên mặt phẳng (Oxy) bằng \(\frac{{5\sqrt {74}}}{{12}}\).