Giải mục 1 trang 4,5,6 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 4 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + 1$ và $F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + x$, với $x \in \mathbb{R}$.

a) Tính đạo hàm của hàm số F(x).

b) F’(x) và f(x) có bằng nhau không?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về đạo hàm để tính: $\left( {u + v} \right)' = u' + v',\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha  - 1}}\left( {x > 0} \right),c' = 0$ với c là hằng số.

Lời giải chi tiết:

a) $F'\left( x \right) = \left( {\frac{1}{3}{x^3} + x} \right)' = {x^2} + 1$

b) $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Câu 2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$?

a) $F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \ln x$;

b) $G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \ln x$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x): Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ với mọi x thuộc K.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $F'\left( x \right) = \left( {\frac{1}{2}{x^2} + \ln x} \right)' = x + \frac{1}{x}$

Vì $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ với mọi x thuộc $\left( {0; + \infty } \right)$ nên F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) $G'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \ln x} \right)' = x - \frac{1}{x}$

G(x) không phải là một nguyên hàm của f(x) trên $\left( {0; + \infty } \right)$ vì với $x = 1$ ta có:

$G'\left( 1 \right) = 0 \ne 2 = f\left( 1 \right)$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

a) Chứng minh rằng hàm số $F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3}$ trên $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $G\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + C$ (với C là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$ không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x): Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ với mọi x thuộc K.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $F'\left( x \right) = {x^3} = f\left( x \right)$ nên F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$.

b) Ta có: $G'\left( x \right) = {x^3} = f\left( x \right)$ nên G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm $\int {{x^3}dx}$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó $\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C}$, C là hằng số.

Lời giải chi tiết:

Vì $\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)'= {x^3}$ nên $F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3}$ trên $\mathbb{R}$.

Do đó, $\int {{x^3}dx}  = \frac{{{x^4}}}{4} + C$