Giải mục 1 trang 12,13,14 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 13 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng $y = x + 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = t\left( {1 \le t \le 4} \right)$ (H.4.3).

a) Tính diện tích S của T khi $t = 4$.

b) Tính diện tích S(t) của T khi $t \in \left[ {1;4} \right]$.

c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( t \right) = t + 1,t \in \left[ {1;4} \right]$ và diện tích $S = S\left( 4 \right) - S\left( 1 \right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về diện tích hình thang để tính: Diện tích hình thang ABCD (AB//CD) là: $S = \frac{{\left( {AB + CD} \right).h}}{2}$ với h là chiều cao của hình thang.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi A, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng $x = 1$, $x = 4$ với trục hoành; B, C lần lượt là giao điểm của các đường thẳng $x = 1$, $x = 4$ với đường thẳng $y = x + 1$.

Khi đó, $A\left( {1;0} \right),B\left( {1;2} \right),C\left( {4;5} \right),D\left( {4;0} \right)$. Do đó, $AB = 2,CD = 5,AD = 3$

Diện tích hình thang ABCD là: $S = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2} = \frac{{\left( {2 + 5} \right).3}}{2} = \frac{{21}}{2}$

b) Gọi A, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng $x = 1$, $x = t$ với trục hoành, B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng $x = 1$, $x = t$ với đường thẳng $y = x + 1$.

Khi đó, $A\left( {1;0} \right),B\left( {1;2} \right),C\left( {t;t + 1} \right),D\left( {t;0} \right)$. Do đó, $AB = 2,CD = t + 1,AD = t - 1$

Diện tích hình thang ABCD là:

$S\left( t \right) = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2} = \frac{{\left( {2 + t + 1} \right).\left( {t - 1} \right)}}{2} = \frac{{\left( {t + 3} \right)\left( {t - 1} \right)}}{2} = \frac{{{t^2} + 2t - 3}}{2}$

c) Ta có: $S'\left( t \right) = {\left( {\frac{{{t^2} + 2t - 3}}{2}} \right)'} = \frac{1}{2}\left( {2t + 2} \right) = t + 1 = f\left( t \right)$

Do đó, S(t) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( t \right) = t + 1,t \in \left[ {1;4} \right]$.

Lại có: $S\left( 4 \right) - S\left( 1 \right) = \frac{{{4^2} + 2.4 - 3}}{2} - \frac{{{1^2} + 2.1 - 3}}{2} = \frac{{21}}{2} - 0 = \frac{{21}}{2}$

Suy ra: $S = S\left( 4 \right) - S\left( 1 \right)$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 13 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = {x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = 2$. Ta muốn tính diện tích S của hình thang cong này.

a) Với mỗi $x \in \left[ {1;2} \right]$, gọi S(x) là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1 và x (H.4.5).

Cho $h > 0$ sao cho $x + h < 2$. So sánh hiệu $S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)$ với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra: $0 \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 2xh + {h^2}$.

b) Cho $h < 0$ sao cho $x + h > 1$. Tương tự phần a, đánh giá hiệu $S\left( x \right) - S\left( {x + h} \right)$ và từ đó suy ra $2xh + {h^2} \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 0$.

c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi $h \ne 0$, ta có

$\left| {\frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2}} \right| \le 2x\left| h \right| + {h^2}$.

Từ đó chứng minh $S'\left( x \right) = {x^2},x \in \left( {1;2} \right)$. Người ta chứng minh được $S'\left( 1 \right) = 1,S'\left( 2 \right) = 4$, tức là S(x) là một nguyên hàm của ${x^2}$ trên $\left[ {1;2} \right]$.

d) Từ kết quả của phần c, ta có $S\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C$. Sử dụng điều này với lưu ý $S\left( 1 \right) = 0$ và diện tích cần tính $S = S\left( 2 \right)$, hãy tính S.

Gọi F(x) là một nguyên hàm tùy ý của $f\left( x \right) = {x^2}$ trên $\left[ {1;2} \right]$. Hãy so sánh S và $F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về hình thang cong để tính: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$, trong đó f(x) là hàm liên tục không âm trên đoạn [a; b] gọi là một hình thang cong.

Lời giải chi tiết:

a) Với $h > 0$ sao cho $x + h < 2$, gọi ${S_{MNPQ}}$ và ${S_{MNEF}}$ lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF thì ${S_{MNPQ}} \le S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right) \le {S_{MNEF}}$

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: ${S_{MNPQ}} = MN.MQ = \left( {x + h - x} \right){x^2} = h{x^2}$

Diện tích hình chữ nhật MNEF là: ${S_{MNEF}} = MN.NE = \left( {x + h - x} \right){\left( {x + h} \right)^2} = h{\left( {x + h} \right)^2}$

Do đó, $h{x^2} \le S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right) \le h{\left( {x + h} \right)^2}$. Vậy $0 \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 2xh + {h^2}$

b)

Với $h < 0$ sao cho $x + h > 1$, gọi ${S_{MNPQ}}$ và ${S_{MNEF}}$ lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF thì ${S_{MNPQ}} \le S\left( x \right) - S\left( {x + h} \right) \le {S_{MNEF}}$

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: ${S_{MNPQ}} = MN.MQ =  - h{\left( {x + h} \right)^2} > 0$

Diện tích hình chữ nhật MNEF là: ${S_{MNEF}} = MN.NE =  - h{x^2}$

Do đó, $- h{\left( {x + h} \right)^2} \le S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right) \le  - h{x^2}$

Vậy $2xh + {h^2} \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 0$  (do $h < 0$ nên $- h > 0$)

c) Từ phần a và phần b, suy ra với mọi $h \ne 0$, ta có: $\left| {\frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2}} \right| \le 2x\left| h \right| + {h^2}$

Do đó, $S'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} = {x^2},x \in \left( {1;2} \right)$. Suy ra, $S'\left( 1 \right) = 1,S'\left( 2 \right) = 4$.

Do đó, S(x) là một nguyên hàm của ${x^2}$ trên $\left[ {1;2} \right]$.

d) Theo c ta có: $S\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C$, $S\left( 1 \right) = 0$  nên $\frac{1}{3} + C = 0 \Leftrightarrow C = \frac{{ - 1}}{3}$.

Do đó, $S\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{3}$

Diện tích cần tính là: $S = S\left( 2 \right) = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Vì F(x) là một nguyên hàm tùy ý của $f\left( x \right) = {x^2}$ trên $\left[ {1;2} \right]$ nên $F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C,C \in \mathbb{R}$

Ta có: $F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right) = \frac{7}{3} - 0 = \frac{7}{3} = S$. Do đó, $S = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)$

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 14 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$, F(x) và G(x) là hai nguyên hàm tùy ý của f(x) trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Chứng minh rằng $F\left( b \right) - F\left( a \right) = G\left( b \right) - G\left( a \right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó $\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C}$, C là hằng số.

Lời giải chi tiết:

Vì F(x) và G(x) là hai nguyên hàm tùy ý của f(x) trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ nên tồn tại hằng số C sao cho $F\left( x \right) = G\left( x \right) + C$.

Do đó, $F\left( b \right) - F\left( a \right) = G\left( b \right) + C - G\left( a \right) - C = G\left( b \right) - G\left( a \right)$

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 15 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính:

a) $\int\limits_0^1 {{e^x}dx}$;

b) $\int\limits_1^e {\frac{1}{x}dx}$;

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}$;

d) $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số $F\left( b \right) - F\left( a \right)$ được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$.

Lời giải chi tiết:

a) $\int\limits_0^1 {{e^x}dx}  = {e^x}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = {e^1} - {e^0} = e - 1$;

b) $\int\limits_1^e {\frac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right|\left| \begin{array}{l}e\\1\end{array} \right. = \ln e - \ln 1 = 1$;

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}  =  - \cos x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. =  - \cos \frac{\pi }{2} + \cos 0 = 1$;

d) $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}}  =  - \tan x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right. =  - \cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{6} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \sqrt 3  = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 16 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) $\int\limits_1^3 {\left( {2x + 1} \right)dx}$;

b) $\int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {4 - {x^2}} dx}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về ý nghĩa hình học của tích phân để tính: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a,x = b$. Vậy $S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$.

Lời giải chi tiết:

a) Tích phân cần tính là diện tích của hình thang vuông ABCD, có đáy nhỏ $AB = 3,$ đáy lớn $CD = 7$ và đường cao $AD = 2$.

Do đó, $\int\limits_1^3 {\left( {2x + 1} \right)dx}  = {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right)AD = \frac{1}{2}\left( {3 + 7} \right).2 = 10$

b) Ta có $y = \sqrt {4 - {x^2}}$ là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 2. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng.

Vậy $\int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {4 - {x^2}} dx}  = 2\pi$

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 16 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số $F\left( b \right) - F\left( a \right)$ được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$

Sử dụng kiến thức về quan hệ giữa hàm số vận tốc và hàm số quãng đường để tính: Hàm số quãng đường S(t) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc v(t).

Lời giải chi tiết:

Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu được phanh. Gọi T là thời điểm ô tô dừng.

Xe dừng hẳn khi $v\left( T \right) = 0.$ Do đó, $0 =  - 40T + 20$ nên $T = \frac{1}{2}$. Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn của ô tô là 0,5 giây.

Vì $v\left( t \right) = S'\left( t \right)$ nên S(t) là một nguyên hàm của hàm vận tốc v(t).

Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được số mét là:

Do đó, $S\left( t \right) = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {v\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 40t + 20} \right)dt = \left( { - 20{t^2} + 20t} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{1}{2}\\0\end{array} \right. = }  - 20.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 20.\frac{1}{2} = 5\left( m \right)$

Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được 5m.