Giải mục 1 trang 15,16,17 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 15 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x$ với $x \in \left[ {0;3} \right]$, có đồ thị như Hình 1.15.

a) Giá trị lớn nhất M của hàm số trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ là bao nhiêu? Tìm ${x_0}$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) = M$.

b) Giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ là bao nhiêu? Tìm ${x_0}$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) = m$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về đọc hiểu đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Giá trị lớn nhất của đồ thị hàm số trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ là $M = 3$.

Với ${x_0} = 3$ thì $f\left( 3 \right) = 3$.

b) Giá trị nhỏ nhất của đồ thị hàm số trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ là $m =  - 1$.

Với ${x_0} = 1$ thì $f\left( 1 \right) =  - 1$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt {2x - {x^2}}$;

b) $y =  - x + \frac{1}{{x - 1}}$ trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để tính: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên tập D.

+ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên tập D nếu $f\left( x \right) \le M$ với mọi $x \in D$ và tồn tại ${x_0} \in D$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) = M$.

Kí hiệu $M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right)$ hoặc $M = \mathop {\max }\limits_D f\left( x \right)$

+ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên tập D nếu $f\left( x \right) \ge m$ với mọi $x \in D$ và tồn tại ${x_0} \in D$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) = m$.

Kí hiệu $m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right)$ hoặc $m = \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)$

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định của hàm số là $\left[ {0;2} \right]$ .

Với $x \in \left[ {0;2} \right]$ ta có: $y' = \frac{{\left( {2x - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{ - x + 1}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}$ , $y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - x + 1}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)$

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ :

Từ bảng biến thiên ta thấy: $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 0,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1$ .

b) Với $x \in \left( {1; + \infty } \right)$ ta có:

Ta có: $y' =  - 1 + \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\;\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - x + \frac{1}{{x - 1}}} \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - x + \frac{1}{{x - 1}}} \right) =  - \infty$

Lập bảng biến thiên của hàm số trên $\left( {1; + \infty } \right)$ :

Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên $\left( {1; + \infty } \right)$ .