Giải mục 1 trang 15,16,17 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Định nghĩa
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 15 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x\) với \(x \in \left[ {0;3} \right]\), có đồ thị như Hình 1.15.
a) Giá trị lớn nhất M của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) là bao nhiêu? Tìm \({x_0}\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = M\).
b) Giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) là bao nhiêu? Tìm \({x_0}\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = m\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về đọc hiểu đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) Giá trị lớn nhất của đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) là \(M = 3\).
Với \({x_0} = 3\) thì \(f\left( 3 \right) = 3\).
b) Giá trị nhỏ nhất của đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) là \(m = - 1\).
Với \({x_0} = 1\) thì \(f\left( 1 \right) = - 1\).
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \);
b) \(y = - x + \frac{1}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để tính: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên tập D.
+ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên tập D nếu \(f\left( x \right) \le M\) với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = M\).
Kí hiệu \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\) hoặc \(M = \mathop {\max }\limits_D f\left( x \right)\)
+ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên tập D nếu \(f\left( x \right) \ge m\) với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = m\).
Kí hiệu \(m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\) hoặc \(m = \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định của hàm số là \(\left[ {0;2} \right]\) .
Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\) ta có: \(y' = \frac{{\left( {2x - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{ - x + 1}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\) , \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - x + 1}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)\)
Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) :
Từ bảng biến thiên ta thấy: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 0,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1\) .
b) Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\) ta có:
Ta có: \(y' = - 1 + \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\;\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - x + \frac{1}{{x - 1}}} \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - x + \frac{1}{{x - 1}}} \right) = - \infty \)
Lập bảng biến thiên của hàm số trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) :
Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) .