Giải mục 1 trang 26, 27 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Sơ đồ khảo sát hàm số

Đề bài

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 26 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số $y = {x^2} - 4x + 3$ . Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Tính y’ và tìm các điểm tại đó $y' = 0$ .

b) Xét dấu y’ để tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị của hàm số.

c) Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y$ , $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y$ và lập bảng biến thiên của hàm số.

d) Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tính y’. Giải phương trình $y' = 0$ .

b) Sử dụng kiến thức về định lí về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng K.

+ Nếu $f'\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng K.

+ Nếu $f'\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng K.

Sử dụng kiến thức về định lí cực trị hàm số để tìm cực trị hàm số: Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm ${x_0}$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left( {a;{x_0}} \right)$ và $\left( {{x_0};b} \right)$ . Khi đó:

+ Nếu $f'\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( {a;{x_0}} \right)$ và $f'\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( {{x_0};b} \right)$ thì điểm ${x_0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

+ Nếu $f'\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( {a;{x_0}} \right)$ và $f'\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( {{x_0};b} \right)$ thì điểm ${x_0}$ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

d) Đồ thị hàm số bậc hai $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ nhận đường thẳng $x = \frac{{ - b}}{{2a}}$ làm trục đối xứng.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

Ta có: $y' = 2x - 4,y' = 0 \Leftrightarrow 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Vậy với $x = 2$ thì $y' = 0$ .

b) Trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ , $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ , $y' > 0$ nên hàm số đồng biến.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2,$ giá trị cực tiểu ${y_{CT}} = - 1$ . Hàm số không có cực đại.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^2}\left( {1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] = + \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^2}\left( {1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] = + \infty$

Bảng biến thiên:

d) Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4x + 3$ với trục tung là $\left( {0;3} \right)$ .

Ta có: ${x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.$ . Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $\left( {3;0} \right);\left( {1;0} \right)$ .

Điểm $\left( {4;3} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4x + 3$ .

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = 2$ làm trục đối xứng.

d) Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4x + 3$ với trục tung là $\left( {0;3} \right)$ .

Điểm $\left( {4;3} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4x + 3$ .

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = 2$ làm trục đối xứng.