Giải bài tập 23 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho tứ diện ABCD, chứng minh rằng: a) →AB.→CD+→AC.→DB+→AD.→BC=0; b) Nếu AB⊥CD và AC⊥BD thì AD⊥BC.
Đề bài
Cho tứ diện ABCD, chứng minh rằng:
a) →AB.→CD+→AC.→DB+→AD.→BC=0;
b) Nếu AB⊥CD và AC⊥BD thì AD⊥BC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để tính: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì →AB+→BC=→AC
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ →a, →b đều khác →0. Khi đó, →a⊥→b⇔→a⋅→b=0
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
→AB.→CD+→AC.→DB+→AD.→BC
=→AB.→CD+(→AB+→BC)(→DC+→CB)+(→AB+→BD)→BC
=→AB.→CD+→AB.→DC+→AB.→CB+→BC.→DC+→BC.→CB+→AB.→BC+→BC.→BD
=→AB(→CD+→DC)+→AB.(→CB+→BC)+→BC.(→DC+→CB)+→BC.→BD
=→BC.→DB+→BC.→BD=→BC.(→DB+→BD)=0
Vậy →AB.→CD+→AC.→DB+→AD.→BC=0.
b) Vì AB⊥CD nên →AB.→CD=0, AC⊥BD nên →AC.→DB=0
Mà →AB.→CD+→AC.→DB+→AD.→BC=0 nên →AD.→BC=0. Do đó, AD⊥BC.