Giải bài tập 3 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hai điểm $A\left( {1;0;0} \right)$ và $B\left( {5;0;0} \right)$. Chứng minh rằng nếu điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ thoả mãn $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 0$ thì $M$ thuộc một mặt cầu $\left( S \right)$. Tìm tâm và bán kính của $\left( S \right)$.

Lời giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - x;y;z} \right)$ và $\overrightarrow {MB}  = \left( {5 - x;y;z} \right)$.

Do $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 0$ nên

$\begin{array}{l}\left( {1 - x} \right)\left( {5 - x} \right) + {y^2} + {z^2} = 0\\ \Rightarrow {x^2} - 6x + 5 + {y^2} + {z^2} = 0\\ \Rightarrow \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + {y^2} + {z^2} = 4\\ \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\end{array}$

Vậy điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ thuộc mặt cầu $S$ có tâm $I\left( {3;0;0} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 4  = 2$.