Giải bài tập 3 trang 79 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều — Không quảng cáo

Toán 9 cánh diều


Giải bài tập 3 trang 79 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AK, BM cắt nhau tại trực tâm H của tam giác ABC. Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm N (khác A). Chứng minh: a)(widehat {CBM} = widehat {CAK}) b) Tam giác BHN cân. c) BC là đường trung trực của HN.

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AK, BM cắt nhau tại trực tâm H của tam giác ABC. Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm N (khác A). Chứng minh:

a) \(\widehat {CBM} = \widehat {CAK}\)

b) Tam giác BHN cân.

c) BC là đường trung trực của HN.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(\widehat {CBM},\widehat {CAK}\) cùng phụ với \(\widehat {BAC}\).

b) Chứng minh \(\widehat {BHN} = {\widehat {BNA}}( = \widehat {KCM}).\)

c) Chứng minh \(\widehat {CBM} = \widehat {KAC}\), nên BK là đường phân giác của tam giác BHN và BK đồng thời là đường trung trực.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC có đường cao AK, BM  nên \(\widehat {AKC} = \widehat {BMC} = 90^\circ .\)

Xét tam giác BMC vuông tại M có: \(\widehat {CBM} + \widehat {BCA} = 90^\circ \)

Xét tam giác AKC vuông tại K có: \(\widehat {KAC} + \widehat {BCA} = 90^\circ \)

Nên \(\widehat {CBM} = \widehat {KAC}.\)

b) Xét tứ giác HKCM có:

\(\begin{array}{l}\widehat {HKC} + \widehat {HMC} + \widehat {KHM} + \widehat {KCM} = 360^\circ \\\widehat {KHM} + \widehat {KCM} = 360^\circ  - \widehat {HKC} - \widehat {HMC}\\\widehat {KHM} + \widehat {KCM} = 360^\circ  - 90^\circ  - 90^\circ \\\widehat {KHM} + \widehat {KCM} = 180^\circ \end{array}\)

Mà \(\widehat {KHM} + \widehat {BHN} = 180^\circ \), suy ra \(\widehat {KCM} = \widehat {BHN}\) (1)

Ta lại có: \(\widehat {KCM} = \widehat {BNA}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB của (O)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {BHN} = {\widehat {BNA}^{}}( = \widehat {KCM}).\)

Vậy tam giác BHN cân tại B.

c) Có: \(\widehat {BNC} = {\widehat {KAC}^{}}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung NC của (O)).

Mà \(\widehat {CBM} = \widehat {KAC}\) (câu a)

Suy ra \(\widehat {CBM} = \widehat {BNC}\) hay BC là tia phân giác của góc NBH, do đó BK là đường phân giác của tam giác BNH.

Xét tam giác cân BNH có BK là đường phân giác nên BK đồng thời là đường trung trực hay BC là đường trung trục cua HN.

Vậy BC là đường trung trực của HN.


Cùng chủ đề:

Giải bài tập 3 trang 66 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều
Giải bài tập 3 trang 71 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều
Giải bài tập 3 trang 72 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều
Giải bài tập 3 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều
Giải bài tập 3 trang 78 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều
Giải bài tập 3 trang 79 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều
Giải bài tập 3 trang 81 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều
Giải bài tập 3 trang 85 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều
Giải bài tập 3 trang 86 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều
Giải bài tập 3 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều
Giải bài tập 3 trang 90 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều