Giải bài tập 4. 29 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: $y = \sqrt x  - 2$, $y = 0$, $x = 4$, $x = 9$.

Lời giải chi tiết

Thể tích $V$ được tính bằng:

${\rm{V = }}\pi \int_4^9 {{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}^2}} dx = \pi \int_4^9 {(x - 4\sqrt x  + 4)} {\mkern 1mu} dx$

Tính nguyên hàm:

$\int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2},\quad \int 4 \sqrt x {\mkern 1mu} dx = \frac{{8{x^{3/2}}}}{3},\quad \int 4 {\mkern 1mu} dx = 4x$

Thay vào:

$V = \pi \left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{8{x^{3/2}}}}{3} + 4x} \right]_4^9 = \pi \left( {\frac{{27}}{6} - \frac{{16}}{6}} \right) = \pi \left( {\frac{{11}}{6}} \right)$

Vậy thể tích khối tròn xoay là:

$V = \frac{{11\pi }}{6}$.