Giải bài tập 4. 28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) $y = {2^x}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$;

b) $y = 12 - {x^2}$, $y =  - x$, $x =  - 3$, $x = 4$.

Lời giải chi tiết

a)

Diện tích $A$ được tính bằng tích phân:

$A = \int_0^2 {{2^x}} {\mkern 1mu} dx$

Tính nguyên hàm của ${2^x}$:

$\int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}$

Do đó:

$A = \left[ {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right]_0^2 = \frac{{{2^2}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} = \frac{4}{{\ln 2}} - \frac{1}{{\ln 2}} = \frac{3}{{\ln 2}}$

Vậy diện tích cần tìm là:

$A = \frac{3}{{\ln 2}}$

b)

Ta cần tính tích phân của hiệu giữa hai hàm ${y_1}(x) = 12 - {x^2}$ và ${y_2}(x) =  - x$ trên đoạn $[ - 3,4]$. Diện tích $A$ là:

$A = \int_{ - 3}^4 {\left| {12 - {x^2} - \left( { - x} \right)} \right|dx = } \int_{ - 3}^4 {\left| {12 - {x^2} + x} \right|dx}  = \int_{ - 3}^4 {\left( {12 - {x^2} + x} \right)dx}$

Tính nguyên hàm:

$\int {(12 - {x^2} + x)} {\mkern 1mu} dx = 12x - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}$

Thay cận $- 3$ và $4$:

$A = \left[ {12x - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_{ - 3}^4 = \frac{{104}}{3} - \frac{{ - 45}}{2} = \frac{{343}}{6}$

Vậy diện tích là:

$A = \frac{{343}}{6}$.