Giải bài tập 4. 25 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Người ta tạo ra mô hình một quả trứng ngỗng bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{30}}\sqrt {7569 - 400{x^2}}$ và trục hoành với $- 4,35 \le x \le 4,35$ quanh trục hoành. Tính thể tích quả trứng, biết thể tích mô hình này xem như bằng thể tích quả trứng ngỗng và $x,y$ tính theo centimét.

Lời giải chi tiết

- Thể tích khối tròn xoay là:

$V = \pi \int_{ - 4,35}^{4,35} {{{\left( {\frac{1}{{30}}\sqrt {7569 - 400{x^2}} } \right)}^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{\pi }{{900}}\int_{ - 4,35}^{4,35} {(7569 - 400{x^2})} {\mkern 1mu} dx.$

- Do hàm số là hàm chẵn, ta chỉ cần tính trên đoạn $[0;4,35]$ và nhân đôi kết quả:

$V = \frac{{2\pi }}{{900}}\int_0^{4,35} {(7569 - 400{x^2})} {\mkern 1mu} dx.$

- Tính tích phân:

$\int {(7569 - 400{x^2})} {\mkern 1mu} dx = 7569x - \frac{{400{x^3}}}{3}.$

- Thay cận 0 và 4,35:

$V = \frac{{2\pi }}{{900}}\left( {7569 \times 4,35 - \frac{{400 \times 4,{{35}^3}}}{3}} \right).$

- Thể tích cuối cùng là:

$V \approx 153,24{\mkern 1mu} {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.$

Vậy, thể tích của quả trứng là khoảng $V \approx 153,24{\mkern 1mu} {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$.