Giải bài tập 4 trang 27 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Tìm tiệm cận đứng, ngang, xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau: a) y=x2−x b) y=2x2−3x+2x−1 c) y=x−3+1x2
Đề bài
Tìm tiệm cận đứng, ngang, xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) y=x2−x
b) y=2x2−3x+2x−1
c) y=x−3+1x2
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đường thẳng y=yo được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=f(x) nếu lim hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_o}.
Đường thẳng x = {x_o} được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f\left( x \right) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ - } f\left( x \right) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ - } f\left( x \right) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } f\left( x \right) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } f\left( x \right) = - \infty .
Đưởng thẳng y = ax + b\left( {a \ne 0} \right) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f\left( x \right) nếu:
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0 hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0.
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \frac{x}{{2 - x}} = - 1
Mặt khác, \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{2 - x}} = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{2 - x}} = - \infty \end{array} \right.
Vậy đường thẳng y = - 1 và x = 2 lần lượt là đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{x}{{2 - x}}.
b) Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.
Ta có: \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} = + \infty \end{array} \right.
Mặt khác, y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} = 2x - 1 + \frac{1}{{x - 1}}
Xét \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {2x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0
Vậy đường thẳng x = 1 và đường thẳng y = 2x - 1 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}
c) Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.
Ta có: \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = + \infty \end{array} \right..
Xét \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^2}}} = 0
Vậy đường thẳng x = 0 và đường thẳng y = x - 3 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}