Giải bài tập 5. 17 trang 49 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: ${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}$.

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} \left( {2; - 1;3} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;1;1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 2.\left( { - 1} \right) - 1.1 + 3.1 = 0$ nên $\overrightarrow {{u_1}}  \bot \overrightarrow {{u_2}}$. Do đó, hai con đường trên vuông góc với nhau.

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm $A\left( {1;0; - 1} \right)$, đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm $B\left( {3; - 1;0} \right)$

Vì $\frac{2}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 1}}{1}$ nên $\overrightarrow {{u_1}}$ không cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\1&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&{ - 1}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 4; - 5;1} \right) \ne \overrightarrow 0$, $\overrightarrow {AB} \left( {2; - 1;1} \right)$

Vì $\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 4} \right).2 + \left( { - 5} \right).\left( { - 1} \right) + 1.1 =  - 2 \ne 0$ nên ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.

Do đó, nút giao thông trên là nút giao thông khác mức.