Giải bài tập 5.25 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: a) (d:left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}{y = - 1 + t,,,,,,,,,,t in mathbb{R}}{z = 3 + 4t}end{array}} right.quad {rm{va}} a }}quad d':left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t'}{y = - 1 + t',,,,,t', in mathb
Đề bài
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 + t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t \in \mathbb{R}}\\{z = 3 + 4t}\end{array}} \right.\quad {\rm{và}}\quad d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t'}\\{y = - 1 + 3t'\,\,\,\,\,t'\, \in \mathbb{R}}\\{z = 4 + 2t'}\end{array}} \right.
b) d:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{2}\quad {\rm{và }}\quad d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t'}\\{y = - 1 + t'\,\,\,\,\,t'\, \in \mathbb{R}}\\{z = 1}\end{array}} \right..
c) d:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{6}\quad {\rm{và }}\quad d':\frac{x}{{12}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{3}.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Đối với phương trình tham số d:x = {x_0} + at,y = {y_0} + bt,z = {z_0} + ct, vector chỉ phương của đường thẳng là \vec u = (a,b,c).
- Đối với phương trình chính tắc \frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}, vector chỉ phương của đường thẳng cũng là \vec u = (a,b,c).
- Góc giữa hai đường thẳng có vector chỉ phương \overrightarrow {{u_1}} = ({a_1},{b_1},{c_1}) và \overrightarrow {{u_2}} = ({a_2},{b_2},{c_2}) được tính bởi:
\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} }}{{|\overrightarrow {{u_1}} ||\overrightarrow {{u_2}} |}}
Lời giải chi tiết
a)
Vector chỉ phương của d: \vec u = (2;1;4).
Vector chỉ phương củad': \vec u' = ( - 1;3;2). Tích vô hướng:
\vec u \cdot \vec u' = 2 \times ( - 1) + 1 \times 3 + 4 \times 2 = - 2 + 3 + 8 = 9
Độ dài:
|\vec u| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} = \sqrt {21} ,\quad |\vec u'| = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {2^2}} = \sqrt {14}
\cos \theta = \frac{9}{{\sqrt {21} \times \sqrt {14} }} = \frac{9}{{\sqrt {294} }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{{14}}
Suy ra \theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{3\sqrt 6 }}{{14}}} \right) \approx 58^\circ .
b)
Vector chỉ phương của d: \vec u = (1;2;2).
Vector chỉ phương củad': \vec u' = (1;1;0).
Tích vô hướng của hai vector chỉ phương:
\vec u \cdot \vec u' = 1 \times 1 + 2 \times 1 + 2 \times 0 = 1 + 2 + 0 = 3
Độ dài của \vec u và \vec u':
|\vec u| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = \sqrt 9 = 3
|\vec u'| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2
Góc giữa hai đường thẳng:
\cos \theta = \frac{{\vec u \cdot \vec u'}}{{|\vec u||\vec u'|}} = \frac{3}{{3 \times \sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}
Suy ra:
\theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 45^\circ
c)
Vector chỉ phương của d: \vec u = ( - 2;3;6).
Vector chỉ phương của d': \vec u' = (12,2,3).
Tích vô hướng của hai vector chỉ phương:
\vec u \cdot \vec u' = ( - 2) \times 12 + 3 \times 2 + 6 \times 3 = - 24 + 6 + 18 = 0
Vì \vec u \cdot \vec u' = 0, nên \theta = {90^\circ }, hay hai đường thẳng vuông góc với nhau.