Giải bài tập 5.21 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí A cao 15 m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10 m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ Oxyz cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của A và B lần lượt là A(3;2,5;15) và B(21;27,5;10).
Đề bài
Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí A cao 15 m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10 m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ Oxyz cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của A và B lần lượt là A(3;2,5;15) và B(21;27,5;10).
a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline này.
b) Xác định tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình đường thẳng trong không gian:
Đường thẳng đi qua hai điểm A(x1,y1,z1) và B(x2,y2,z2) có vectơ chỉ phương là:
→AB=(x2−x1,y2−y1,z2−z1)
Phương trình tham số của đường thẳng sẽ có dạng:
{x=x1+t(x2−x1)y=y1+t(y2−y1)z=z1+t(z2−z1)
trong đó t là tham số.
Xác định tọa độ của một điểm trên đường thẳng khi biết chiều cao z:
Dùng phương trình tham số của đường thẳng để thay giá trị z=12, từ đó tính t. Sử dụng giá trị t để tìm tọa độ x và y.
Lời giải chi tiết
a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline.
Tọa độ điểm A là A(3;2,5;15) và tọa độ điểm B là B(21;27,5;10).
Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:
→AB=(21−3,27,5−2,5,10−15)=(18,25,−5)
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương →AB:
{x=3+18ty=2,5+25tz=15−5t
Đây là phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline.
b) Xác định tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét. Biết z=12, thay vào phương trình tham số của z:
12=15−5t
Giải phương trình:
5t=15−12=3⇒t=35
Thay t=35 vào các phương trình tham số của x và y:
x=3+18×35=3+10,8=13,8
y=2,5+25×35=2,5+15=17,5
Vậy tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét là (13,8;17,5;12).