Giải bài tập 5.20 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho đường thẳng \(d\): \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 3 + 3t{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = 6 + 4t}\end{array}} \right.\) a) Tìm tọa độ điểm \(A\) thuộc \(d\), biết \(OA = 7\). b) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(O\) trên \(d\) và tính khoảng cách từ \(O\) đến \(d\).
Đề bài
Cho đường thẳng \(d\):
\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 3 + 3t{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = 6 + 4t}\end{array}} \right.\)
a) Tìm tọa độ điểm \(A\) thuộc \(d\), biết \(OA = 7\).
b) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(O\) trên \(d\) và tính khoảng cách từ \(O\) đến \(d\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dùng công thức khoảng cách \(OA = 7\) để tìm giá trị \(t\), từ đó xác định tọa độ của điểm \(A\). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(d\) và tính khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(d\).
Lời giải chi tiết
a) Tọa độ điểm \(A\) thuộc \(d\) có dạng:
\(A(2 - 2t,3 + 3t,6 + 4t)\)
Điều kiện \(OA = 7\), tức là:
\(\sqrt {{{(2 - 2t)}^2} + {{(3 + 3t)}^2} + {{(6 + 4t)}^2}} = 7\)
Bình phương hai vế:
\(\begin{array}{l}{(2 - 2t)^2} + {(3 + 3t)^2} + {(6 + 4t)^2} = 49\\4 - 8t + 4{t^2} + 9 + 18t + 9{t^2} + 36 + 48t + 16{t^2} = 49\\29{t^2} + 58t + 49 = 49\\29t(t + 2) = 0\\t = 0,\,\,\,\,\,t = - 2\end{array}\)
Vậy điểm A có hai toạ độ là \((2;3;6),\,\,\,(6; - 3; - 2)\)
b) Tìm tọa độ điểm \(H\) (hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(d\)):
Vectơ OH là \((2 - 2t,3 + 3t,6 + 4t)\), và vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(( - 2,3,4)\). Ta cần giải phương trình:
\((2 - 2t)( - 2) + (3 + 3t)(3) + (6 + 4t)(4) = 0\) \( - 4 + 4t + 9 + 9t + 24 + 16t = 0\)
\(29 + 29t = 0\)
\(t = - 1\)
Vậy toạ độ điểm H là \((4;0;2)\)
Khoảng cách từ O đến d chính là độ dài đoạn OH
\(\left| {OH} \right| = \sqrt {{4^2} + {0^2} + {2^2}} = \sqrt {20} \approx 4,47\)