Giải bài tập 5. 20 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Cho đường thẳng $d$:

$d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 3 + 3t{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = 6 + 4t}\end{array}} \right.$

a) Tìm tọa độ điểm $A$ thuộc $d$, biết $OA = 7$.

b) Tìm tọa độ điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $O$ trên $d$ và tính khoảng cách từ $O$ đến $d$.

Lời giải chi tiết

a) Tọa độ điểm $A$ thuộc $d$ có dạng:

$A(2 - 2t,3 + 3t,6 + 4t)$

Điều kiện $OA = 7$, tức là:

$\sqrt {{{(2 - 2t)}^2} + {{(3 + 3t)}^2} + {{(6 + 4t)}^2}}  = 7$

Bình phương hai vế:

$\begin{array}{l}{(2 - 2t)^2} + {(3 + 3t)^2} + {(6 + 4t)^2} = 49\\4 - 8t + 4{t^2} + 9 + 18t + 9{t^2} + 36 + 48t + 16{t^2} = 49\\29{t^2} + 58t + 49 = 49\\29t(t + 2) = 0\\t = 0,\,\,\,\,\,t =  - 2\end{array}$

Vậy điểm A có hai toạ độ là $(2;3;6),\,\,\,(6; - 3; - 2)$

b) Tìm tọa độ điểm $H$ (hình chiếu vuông góc của $O$ lên $d$):

Vectơ OH là $(2 - 2t,3 + 3t,6 + 4t)$, và vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $( - 2,3,4)$. Ta cần giải phương trình:

$(2 - 2t)( - 2) + (3 + 3t)(3) + (6 + 4t)(4) = 0$ $- 4 + 4t + 9 + 9t + 24 + 16t = 0$

$29 + 29t = 0$

$t =  - 1$

Vậy toạ độ điểm H là $(4;0;2)$

Khoảng cách từ O đến d chính là độ dài đoạn OH

$\left| {OH} \right| = \sqrt {{4^2} + {0^2} + {2^2}}  = \sqrt {20}  \approx 4,47$