Giải bài tập 5. 19 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh ba đường thẳng sau đây đôi một vuông góc:

${d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 3 + 2t{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z =  - 1 + 4t}\end{array}} \right.\quad {d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2m}\\{y = 1 - m{\mkern 1mu} (m \in \mathbb{R})}\\{z = 2 + m}\end{array}} \right.\quad {d_3}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{z}{{ - 1}}$

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của ${d_1}$: $\overrightarrow {{u_1}}  = ( - 1,2,4)$

Vectơ chỉ phương của ${d_2}$: $\overrightarrow {{u_2}}  = (2, - 1,1)$

Vectơ chỉ phương của ${d_3}$: $\overrightarrow {{u_3}}  = (2,3, - 1)$

Kiểm tra vuông góc:

- ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc: $\overrightarrow {{u_1}}  \cdot \overrightarrow {{u_2}}  = ( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1) + 4 \cdot 1 =  - 2 - 2 + 4 = 0$

Vậy ${d_1}$ vuông góc với ${d_2}$.

- ${d_1}$ và ${d_3}$ vuông góc: $\overrightarrow {{u_1}}  \cdot \overrightarrow {{u_3}}  = ( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot ( - 1) =  - 2 + 6 - 4 = 0$

Vậy ${d_1}$ vuông góc với ${d_3}$.

- ${d_2}$ và ${d_3}$ vuông góc: $\overrightarrow {{u_2}}  \cdot \overrightarrow {{u_3}}  = 2 \cdot 2 + ( - 1) \cdot 3 + 1 \cdot ( - 1) = 4 - 3 - 1 = 0$

Vậy ${d_2}$ vuông góc với ${d_3}$.

Kết luận: Ba đường thẳng ${d_1}$, ${d_2}$, ${d_3}$  đôi một vuông góc.