Giải bài tập 5. 22 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Giả sử một máy bay thương mại M đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ D đến E có hình chiếu trên mặt đất là đoạn CB. Tại D, máy bay bay cách mặt đất là 9000 m và tại E là 12000 m. Một ra-đa được đặt trên mặt đất tại vị trí O cách C là 20000 m, cách B là 16000 m và $\widehat {BOC} = {90^\circ }$.  Xét hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị: 1000 m) với O là vị trí đặt ra-đa, B thuộc tia Oy, C thuộc tia Ox, khi đó ta có tọa độ các điểm như Hình 5.24. Giả sử ra-đa có bán kính dò tìm tối đa là 16000 m. Hỏi ra-đa này có thể dò tìm được tín hiệu của máy bay M khi bay trên bầu trời từ D đến E hay không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Tọa độ điểm $D(20;0;9)$ và $E(0;16;12)$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng DE là:

$\overrightarrow {DE}  = (0 - 20;16 - 0;12 - 9) = ( - 20;16;3)$

Phương trình tham số của đường thẳng DE:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 20 - 20t}\\{y = 16t}\\{z = 9 + 3t}\end{array}} \right.$

trong đó t là tham số.

Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng DE, suy ra toạ độ điểm M là:

$H(20 - 20t;16t;9 + 3t)$

Và tích vô hướng của $\overrightarrow {OH}$ và $\overrightarrow {DE}$ là:

$\overrightarrow {DE} .\overrightarrow {OH}  = ( - 20).(20 - 20t) + 16.16t + 3.(9 + 3t) = 0$

Giải phương trình trên ta được điểm $t = \frac{{373}}{{665}}$

Điểm H có toạ độ là $\left( {\frac{{1168}}{{133}};\frac{{5968}}{{665}};\frac{{7104}}{{665}}} \right)$

Khoảng cách từ O đến đến đường thẳng DE chính là độ dài đoạn thẳng OH

$d = \sqrt {{{\left( {\frac{{1168}}{{133}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5968}}{{665}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{7104}}{{665}}} \right)}^2}}  \approx 16,486 = 16486m$

Vì khoảng cách từ ra-da tới đường bay của máy bay M lớn hơn bán kính dò tìm tối đa của ra-da nên không thể thấy tín hiệu của máy bay M.