Giải bài tập 5.29 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức
Khi chuyển động, giả sử đầu mũi kim dài của một chiếc đồng hồ vạch nên một đường tròn, kí hiệu là (T1), trong khi đầu mũi kim ngắn vạch nên một đường tròn khác, kí hiệu là (T2). a) Hai đường tròn (T1) và (T2) có vị trí tương đối như thế nào? b) Giả sử bán kính của (T1) và (T2) lần lượt là R1 và R2. Người ta vẽ trên mặt đồng hồ một họa tiết hình tròn có tâm nằm cách điểm trục kim đồng hồ một khoảng bằng (frac{1}{2}{{rm{R}}_1}) và có bán kính bằng (frac{1}{2}{{rm{R}}_2}). Hãy cho biết vị
Đề bài
Khi chuyển động, giả sử đầu mũi kim dài của một chiếc đồng hồ vạch nên một đường tròn, kí hiệu là (T 1 ), trong khi đầu mũi kim ngắn vạch nên một đường tròn khác, kí hiệu là (T 2 ).
a) Hai đường tròn (T 1 ) và (T 2 ) có vị trí tương đối như thế nào?
b) Giả sử bán kính của (T 1 ) và (T 2 ) lần lượt là R 1 và R 2 . Người ta vẽ trên mặt đồng hồ một họa tiết hình tròn có tâm nằm cách điểm trục kim đồng hồ một khoảng bằng \(\frac{1}{2}{{\rm{R}}_1}\) và có bán kính bằng \(\frac{1}{2}{{\rm{R}}_2}\). Hãy cho biết vị trí tương đối của đường tròn (T 3 ) đối với mỗi đường tròn (T 1 ) và (T 2 ). Vẽ ba đường tròn đó nếu R 1 = 3 cm, R 2 = 2 cm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Hai đường tròn (T 1 ) và (T 2 ) là hai đường tròn đồng tâm, (T 1 ) chứa (T 2 ).
b) So sánh khoảng cách giữa tâm của 2 đường tròn với tổng hiệu hai bán kính, từ đó suy ra vị trí tương đối của hai đường tròn.
Lời giải chi tiết
a) Hai đường tròn (T 1 ) và (T 2 ) là hai đường tròn đồng tâm, (T 1 ) chứa (T 2 ).
b) Gọi tâm của (T 1 ) là O, tâm của (T 3 ) là O’
Xét \(\left( {{T_1}} \right)\) và \(\left( {{T_3}} \right)\), ta có:
\({{\rm{R}}_3} = \frac{1}{2}{{\rm{R}}_2}\); \({{\rm{R}}_1} + {{\rm{R}}_3} > {{\rm{R}}_1}{\rm{ > }}\frac{1}{2}{{\rm{R}}_1} = {\rm{OO'}}\) hay \({{\rm{R}}_1} + {R_3} > {\rm{OO'}}\)
\(\begin{array}{l}{R_1} - {R_3} = {R_1} - \frac{1}{2}{R_2}\\ = \frac{1}{2}{R_1} + \frac{1}{2}{R_1} - \frac{1}{2}{R_2}\\ = \frac{1}{2}{R_1} + \left( {\frac{1}{2}{R_1} - \frac{1}{2}{R_2}} \right)\\ = \frac{1}{2}{R_1} + \frac{1}{2}\left( {{R_1} - {R_2}} \right)\end{array}\)
Vì \({R_1} - {R_2} > 0\) nên \(\frac{1}{2}{R_1} + \frac{1}{2}\left( {{R_1} - {R_2}} \right) > \frac{1}{2}{R_1} = OO'\) hay \({{\rm{R}}_1} - {{\rm{R}}_3}{\rm{ > OO'}}\)hay \({\rm{OO'}} < {{\rm{R}}_1} - {{\rm{R}}_3}\)
Vậy (T 1 ) đựng (T 3 ).
Xét \(\left( {{T_2}} \right)\) và \(\left( {{T_3}} \right)\), ta có:
\({{\rm{R}}_3} = \frac{1}{2}{{\rm{R}}_2}\); \({{\rm{R}}_2}{\rm{ - }}{{\rm{R}}_3} = {R_2} - \frac{1}{2}{R_2} = \frac{1}{2}{R_2} < \frac{1}{2}{R_1} = OO'\) hay \({R_2} - {R_3} < OO'\)
\({R_2} + {R_3} = {R_2} + \frac{1}{2}{R_2} = \frac{3}{2}{R_2}\).
TH1: \(\frac{3}{2}{R_2} > \frac{1}{2}{R_1}\) hay \(3{R_2} > {R_1}\) thì \({R_2} + {R_3} > OO'\)
Suy ra \({R_2} - {R_3} < OO' < {R_2} + {R_3}\)
Vậy (T 2 ) và (T 3 ) cắt nhau.
TH2: \(\frac{3}{2}{R_2} = \frac{1}{2}{R_1}\) hay \(3{R_2} = {R_1}\) thì \({R_2} + {R_3} = OO'\)
Vậy (T 2 ) tiếp xúc ngoài với (T 3 ).
TH2: \(\frac{3}{2}{R_2} < \frac{1}{2}{R_1}\) hay \(3{R_2} < {R_1}\) thì \({R_2} + {R_3} < OO'\)
Vậy (T 2 ) và (T 3 ) ở ngoài nhau.
+ Với R 1 = 3 cm, R 2 = 2 cm, so sánh \(3{R_2}\) với \({R_1}\), ta được \(3{R_2} = 3.2 = 6 > 3 = {R_1}\), khi đó (T 2 ) và (T 3 ) cắt nhau.
\(\begin{array}{l}\left( {{T_3}} \right):{R_3} = \frac{1}{2}.2 = 1cm\\OO' = \frac{1}{2}{R_1} = \frac{1}{2}.3 = \frac{3}{2}cm\end{array}\)
Ta có hình vẽ sau:
