Giải bài tập 5. 47 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

a) Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt đi qua các điểm ${A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$. Khi đó:

${\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$ và ${A_1}\not  \in {\Delta _2}$

${\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$ và ${A_1} \in {\Delta _2}$

${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0$

${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.$

b) Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$  tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {u'}  = \left( {a';b';c'} \right)$. Khi đó: $\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {aa' + bb' + cc'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}$.