Giải bài tập 7 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N.

a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau.

b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Xét $\Delta$ABM và $\Delta$ADN ta có:

AB = AD

$\widehat {ABM} = \widehat {ADN}( = {90^o})$

$\widehat {BAM} = \widehat {NAD}$(cùng phụ với $\widehat {DAM}$)

Do đó $\Delta$ABM = $\Delta$ADN (g.c.g)

b) Ta có AM = AN (do $\Delta$ABM = $\Delta$ADN)

Suy ra $\Delta$ AMN cân tại A

Mà AO cũng là đường trung tuyến (O là trung điểm của NM)

Nên AO cũng là đường cao suy ra AO $\bot$ NM tại O.

Xét tứ giác ABMO có $\widehat {ABM} + \widehat {AOM} = {90^o} + {90^o} = {180^o}$ nên tứ giác ABMO nội tiếp.

Xét tứ giác ADNO có $\widehat {ADN} = {90^o}\left( {AD \bot CN} \right),\widehat {AON} = {90^o}(AO \bot MN)$

Suy ra D, O thuộc đường tròn đường kính AN.

Vậy tứ giác ADNO nội tiếp.

c) Tứ giác AMCN có: $\widehat {MAN} + \widehat {MCN} = {90^o} + {90^o} = {180^o}$ nên nội tiếp.

Mà $\widehat {MAN} = {90^o}$

Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMCN.

Suy ra OA = OC

Mà DA = DC, BA = BC (tứ giác ABCD là hình vuông).

Do đó B, D, O cùng thuộc trung trực của đoạn thẳng AC.

Vậy ba điểm B, D, O thẳng hàng.