Giải mục 1 trang 107, 108 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Cho hai hình bình hành và không đồng phẳng. Tìm số giao điểm của mặt phẳng lần lượt với các đường thẳng và .

Hoạt động 1

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABMN$ không đồng phẳng. Tìm số giao điểm của mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ lần lượt với các đường thẳng $MN,MA$ và $AC$.

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh, đếm số điểm chung.

Lời giải chi tiết:

‒ Đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ không có giao điểm.

‒ Đường thẳng $MA$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ có 1 giao điểm.

‒ Đường thẳng $AC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ có vô số giao điểm.

Thực hành 1

Cho $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $AC$ của tứ diện $ABC{\rm{D}}$. Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng $BC,AD$ và $EF$ với mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$.

Phương pháp giải:

Dựa vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

‒ Ta có:

$\left. \begin{array}{l}B \in \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\C \in \left( {BC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \subset \left( {BC{\rm{D}}} \right)$

Vậy đường thẳng $BC$ nằm trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$.

‒ Đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ có một điểm chung duy nhất $D$ nên đường thẳng $AD$ cắt mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ tại $D$.

‒ Ta có: $E$ là trung điểm của $AB$

$F$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\Rightarrow EF\parallel BC$

Nếu $EF$ có điểm chung $O$ với mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ thì $O$ thuộc giao tuyến $BC$ của hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$, suy ra $EF$ cắt $BC$ (mâu thuẫn với chứng minh $EF\parallel BC$ ở trên). Vậy $EF\parallel \left( {BCD} \right)$.