Giải mục 1 trang 2, 3, 4 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 2 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một hòn đá được thả rơi tự do từ miệng của một giếng cạn. Biết rằng vận tốc của hòn đá tại thời điểm t giây tính từ lúc bắt đầu thả được tính bởi v(t)=10t (m/s).

a) Tìm hàm số s(t) mô tả quãng đường chuyển động (tính theo mét) của hòn đá sau t giây kể từ khi được thả.

b) Tính độ sâu của giếng, biết thời gian rơi tự do của hòn đá là 2,2 giây.

Phương pháp giải:

a)

- Sử dụng mối quan hệ giữa vận tốc và quãng đường trong chuyển động thẳng đều biến đổi, ta có:

$v(t) = \frac{{ds(t)}}{{dt}}$

- Tích phân v(t) theo t để tìm s(t).

b) Tính giá trị s(t) tại t = 2,2 giây, đây chính là độ sâu của giếng.

Lời giải chi tiết:

a)

Vận tốc của hòn đá được cho bởi:

$v(t) = 10t{\mkern 1mu} ({\rm{m/s)}}$

Quãng đường s(t) được tính bằng cách tính nguyên hàm vận tốc theo thời gian:

$s(t) = \int v (t){\mkern 1mu} dt = \int 1 0t{\mkern 1mu} dt$

Thực hiện nguyên hàm:

$s(t) = 10\int t {\mkern 1mu} dt = 10\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right) + C = 5{t^2} + C$

Vì tại thời điểm t = 0, hòn đá bắt đầu được thả từ miệng giếng, nên s(0) = 0. Do đó:

$s(0) = 5{(0)^2} + C = 0 \Rightarrow C = 0$

Vậy phương trình quãng đường là:

$s(t) = 5{t^2}{\mkern 1mu} {\rm{m}}$

b)

Để tính độ sâu của giếng, ta tính quãng đường s(t) tại t = 2,2 giây:

$s(2,2) = 5{(2,2)^2} = 5 \times 4,84 = 24,2{\mkern 1mu} {\rm{m}}$

Vậy độ sâu của giếng là 24,2 mét.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 3 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Giải thích vì sao $F(x) = x + \cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 1 - \sin x$ trên $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $G(x) = \sqrt x$ có là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}$ trên khoảng $(0; + \infty )$ không? Giải thích.

Phương pháp giải:

a) Để kiểm tra $F(x)$ có phải là nguyên hàm của $f(x)$ không, ta cần tính đạo hàm của $F(x)$ và so sánh với $f(x)$.

b) Để kiểm tra $G(x)$ có phải là nguyên hàm của $g(x)$ trên khoảng $(0; + \infty )$ không, ta cần tính đạo hàm của $G(x)$ và so sánh với $g(x)$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có hàm $F(x) = x + \cos x$. Tính đạo hàm của $F(x)$:

$F'(x) = \frac{d}{{dx}}(x + \cos x) = 1 - \sin x$

Nhận thấy $F'(x) = f(x)$, do đó $F(x) = x + \cos x$ là một nguyên hàm của $f(x) = 1 - \sin x$ trên $\mathbb{R}$.

b) Ta có hàm $G(x) = \sqrt x$. Tính đạo hàm của $G(x)$:

$G'(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {\sqrt x } \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}$

Nhận thấy $G'(x) = g(x)$ trên khoảng $(0; + \infty )$, do đó $G(x) = \sqrt x$ là một nguyên hàm của $g(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}$ trên khoảng $(0; + \infty )$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 3 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Các hàm số ${F_1}(x) = \sin x$, ${F_2}(x) = \sin x + \sqrt 3$, ${F_3}(x) = \sin x - 2$ là những nguyên hàm của hàm số nào?

b) Vì sao hàm số $F(x) = \ln x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x}$ trên khoảng $(0; + \infty )$? Tìm thêm hai nguyên hàm khác của hàm số $f(x)$ trên khoảng $(0; + \infty )$.

Phương pháp giải:

a)

- Xét đạo hàm của các hàm số ${F_1}(x)$, ${F_2}(x)$, và ${F_3}(x)$ để xác định hàm số chung mà các hàm này là nguyên hàm.

b)

- Xét đạo hàm của $F(x) = \ln x$ để chứng minh đây là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x}$

- Sử dụng tính chất của nguyên hàm để tìm thêm hai nguyên hàm khác của $f(x)$ trên khoảng $(0; + \infty )$.

Lời giải chi tiết:

a)

Ta có các hàm số:

${F_1}(x) = \sin x,\quad {F_2}(x) = \sin x + \sqrt 3 ,\quad {F_3}(x) = \sin x - 2$

Tính đạo hàm của các hàm số này:

$F_1'(x) = \cos x,\quad F_3'(x) = \cos x,\quad F_3'(x) = \cos x$

Như vậy, cả ba hàm số ${F_1}(x)$, ${F_2}(x)$, và ${F_3}(x)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos x$.

b)

Xét hàm số $F(x) = \ln x$. Tính đạo hàm của $F(x)$:

$F'(x) = \frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}$

Do đó, $F(x) = \ln x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x}$ trên khoảng $(0; + \infty )$.

Từ tính chất của nguyên hàm, ta có thể tìm thêm hai nguyên hàm khác của $f(x) = \frac{1}{x}$ bằng cách thêm hằng số vào nguyên hàm $F(x)$. Cụ thể:

${F_1}(x) = \ln x + {C_1},\quad {F_2}(x) = \ln x + {C_2}$

Với ${C_1}$ và ${C_2}$ là các hằng số tuỳ ý, ví dụ:

${F_1}(x) = \ln x + 1,\quad {F_2}(x) = \ln x - 2$

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho $\int {f(x)dx = \sin x + \cos x + C.}$ Tính $f(\pi )$.

Phương pháp giải:

- Khi biết một phương trình nguyên hàm như $\int f (x){\mkern 1mu} dx = g(x) + C$, để tìm hàm số $f(x)$, cần lấy đạo hàm của $g(x) + C$ đối với $x$.

- Đạo hàm của $g(x)$ chính là hàm số $f(x)$, vì $\frac{d}{{dx}}\left( {\int f (x){\mkern 1mu} dx} \right) = f(x)$.

- Sau khi xác định được hàm $f(x)$, thay giá trị $x$ cần tính vào hàm $f(x)$ để tìm kết quả cụ thể.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài, ta có:

$\int {f(x){\mkern 1mu} dx}  = \sin x + \cos x + C$

Đạo hàm hai vế của phương trình này với $x$, ta được:

$f(x) = \frac{d}{{dx}}(\sin x + \cos x + C)$

Tính đạo hàm của từng hạng tử:

$f(x) = \cos x - \sin x$

(Vì $C$ là hằng số, nên $\frac{{dC}}{{dx}} = 0$).

Thay $x = \pi$ vào hàm $f(x)$:

$f(\pi ) = \cos (\pi ) - \sin (\pi )$

Biết rằng:

$\cos (\pi ) =  - 1\quad {\rm{và }}\quad \sin (\pi ) = 0$

Do đó:

$f(\pi ) =  - 1 - 0 =  - 1$