Giải mục 1 trang 2,3,4 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 2 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Hình 1.2 là đồ thị (C) của hàm số \(y = f(x) = \frac{{ - 1}}{2}{x^2} + 3\)
a) Quan sát đồ thị hàm số (C) và chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho.
b) Xác định dấu của đạo hàm \(f'(x)\) khi \(x\)thuộc các khoảng đồng biến, nghịch biến ở câu.
c) Ghi lại và hoàn thành bảng biến thiên sau
Phương pháp giải:
a) Sử dụng khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)
Hàm số \(y = f(x)\)gọi là đồng biến trên khoảng \((a;b)\) nếu với mọi \({x_1},{x_2} \in (a;b)\) mà \({x_1} < {x_2}\) thì ta có \(f({x_1}) < f({x_2})\)
Hàm số \(y = f(x)\) gọi là nghịch biến trên khoảng \((a;b)\) nếu với mọi \({x_1},{x_2} \in (a;b)\) mà \({x_1} > {x_2}\) thì ta có \(f({x_1}) < f({x_2})\)
b) Chọn vài giá trị của x nằm trong khoảng đồng biến , nghịch biến ở câu a rồi thay vào \(f'(x)\)xem \(f'(x)\) có giá trị âm hay dương.
c) Áp dụng kết quả câu a và câu b rồi điền vào
Lời giải chi tiết:
a) Hàm số \(y = f(x)\) xác định trên R
Nhìn hình 1.2 ta thấy:
Hàm số \(f(x) = \frac{{ - 1}}{2}{x^2} + 3\) đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\)
Hàm số \(f(x) = \frac{{ - 1}}{2}{x^2} + 3\) nghịch biến trên khoảng \((0; + \infty )\)
b) Ta có \(f'(x) = - x\)
Ta thấy: Với \(x > 0\)thì \(f'(x) < 0\)
Với \(x < 0\) thì \(f'(x) > 0\)
c)
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 4 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Lập bảng biến thiên và kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
a) \(y = f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x + 3}}\)
b) \(y = f(x) = \cos x\) trên khoảng \((0;2\pi )\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Xét \(f'(x) = 0\)qua đó tìm x
Bước 2: Xét dấu \(f'(x)\)
Bước 3: lập bảng biến thiên
Lời giải chi tiết:
a) \(y = f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x + 3}}\)
Hàm số trên xác định trên R\ {-3}
Ta có: \(f'(x) = \frac{{2(x + 3) - (2x - 1)}}{{{{(x + 3)}^2}}}\)
\(f'(x) = \frac{7}{{{{(x + 3)}^2}}}\)
Vì \(f'(x) > 0\)với \(\forall x \ne - 3\) từ đó ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có,
Hàm số \(y = f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x + 3}}\) đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 3)\)và \(( - 3; + \infty )\)
b) \(y = f(x) = \cos x\) trên khoảng \((0;2\pi )\)
Hàm số trên xác định trên R
Ta có \(y = f'(x) = - \sin x\)
Xét \(f'(x) = - \sin x = 0\) \( \Rightarrow x = k\pi \)
Mà \(x \in (0;2\pi )\) \( \Rightarrow x = \pi \)
Khi đó ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có
Hàm số \(f(x) = \cos x\) đồng biến trên khoảng\((\pi ;2\pi )\)
Hàm số \(f(x) = \cos x\) nghịch biến trên khoảng\((0;\pi )\)
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 4 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} + 1\)
a) Bằng định nghĩa, hãy cho biết hàm \(f(x)\)có đồng biến trên \(R\) hay không
b) Hãy nhận xét về dấu của đạo hàm \(f'(x)\) trên \(R\)
Phương pháp giải:
a) Gọi \({x_1}\), \({x_2}\) sao cho \({x_1},{x_2} \in R\) và\({x_1} > {x_2}\)
Xét dấu của \(f({x_1}) - f({x_2})\)
b) Tính \(f'(x)\) qua đó xét dấu của \(f'(x)\)
Lời giải chi tiết:
a) Gọi \({x_1}\), \({x_2}\) sao cho \({x_1},{x_2} \in R\)và \({x_1} > {x_2}\)
Ta có: \(f({x_1}) - f({x_2})\)= \(({x_1} + 1) - ({x_2} + 1)\)= \({x_1} - {x_2}\)
Mà \({x_1} > {x_2}\) \( \Rightarrow {x_1} - {x_2} > 0\)
Nên \(f({x_1}) - f({x_2}) > 0\) \( \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\)
Suy ra hàm số \(y = f(x) = {x^3} + 1\) đồng biến trên \(R\)
b) Ta có: \(f'(x) = 3{x^2}\)
Vì \(3{x^2} > 0\) với \(\forall x \in R\)
Nên \(f'(x) > 0\) với \(\forall x \in R\)
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Xét tính đơn điệu của hàm số \(y = \sin x - x\)trên khoảng \(( - \pi ;\pi )\)
Phương pháp giải:
Bước 1: tính đạo hàm \(y'\)
Bước 2: xét dấu \(y'\) rồi lập bảng biến thiên
Bước 3: Từ bảng biến thiên nhận xét tính đơn điệu của hàm số
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định trên
Ta có: \(y' = \cos x - 1\)
Vì \(\cos x \le 1\)với \(\forall x \in R\)
Nên \(y' \le 0\)với \(\forall x \in R\)và \(y' = 0\)tại \(x = 0\)
Khi đó ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \pi ;\pi )\)