Giải mục 1 trang 59, 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều — Không quảng cáo

Hoạt động 1

Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số $\left( {{u_n}} \right),$ với ${u_n} = \frac{1}{n}$ trên hệ trục tọa độ.

a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị ${u_n}$ khi n ngày càng lớn.

b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:

Kể từ số hạng ${u_n}$ nào của dãy số thì khoảng cách từ ${u_n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?

Phương pháp giải:

Quan sát hình 2 và rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Khi n ngày càng lớn thì các giá trị ${u_n}$ ngày càng giảm tiến dần về gần trục Ox.

b)

Kể từ số hạng ${u_{1001}}$ trở đi thì khoảng cách từ ${u_n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,001

Kể từ số hạng ${u_{10001}}$ trở đi thì khoảng cách từ ${u_n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,0001

Luyện tập, vận dụng 1

Chứng minh rằng:

a) $\lim 0 = 0;$

b) $\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0.$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn 0.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $\left| {{u_n}} \right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $\left| {{u_n}} \right| = \left| 0 \right| = 0 < 1$ nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có $\lim 0 = 0;$

b) Vì $0 < \left| {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right| < 1$ nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có $\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0.$

Luyện tập, vận dụng 2

Chứng minh rằng $\lim \frac{{ - 4n + 1}}{n} =  - 4.$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a$hay ${u_n} \to a$khi  $n \to  + \infty$ hay $\lim {u_n} = a$.

Lời giải chi tiết:

Vì $\lim \left( {\frac{{ - 4n + 1}}{n} + 4} \right) = \lim \frac{1}{n} = 0$ nên $\lim \frac{{ - 4n + 1}}{n} =  - 4.$

Luyện tập, vận dụng 3

Chứng minh rằng $\lim {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^n} = 0.$

Phương pháp giải:

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $\left| {{u_n}} \right|$ có thể nhỏ hơn một số dư mơng bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải chi tiết:

Vì $\left| {\frac{e}{\pi }} \right| < 1$ nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có $\lim {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^n} = 0.$