Giải mục 1 trang 88 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức
Tính đạo hàm của hàm số (y = {x^3}) tại điểm x bất kì.
HĐ 1
a) Tính đạo hàm của hàm số y=x3 tại điểm x bất kì.
b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y=xn(n∈N∗)
Phương pháp giải:
Hàm số y=f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm f′(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là y′=f′(x)
Lời giải chi tiết:
a) Với x0 bất kì, ta có:
f′(x0)=lim
Vậy hàm số y = {x^3} có đạo hàm là hàm số y' = 3{x^2}
b) y' = \left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}
HĐ 2
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = \sqrt x tại điểm x > 0.
Phương pháp giải:
Hàm số y = f\left( x \right) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm f'\left( x \right) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là y' = f'\left( x \right)
Lời giải chi tiết:
Với {x_0} bất kì, ta có:
\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x - \sqrt {{x_0}} }}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x - \sqrt {{x_0}} }}{{\left( {\sqrt x - \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {{x_0}} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\sqrt x + \sqrt {{x_0}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\end{array}
Vậy hàm số y = \sqrt x có đạo hàm là hàm số y' = \frac{1}{{2\sqrt x }}