Giải mục 2 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 51 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P). Xét $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ và $\overrightarrow n  = \left( {A;B;C} \right)$ (với giá $\Delta '$) là một vectơ pháp tuyến của (P). (H.5.35)

a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc $\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)$ và $\left( {\Delta ,\Delta '} \right)$.

b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa $\sin \left( {\Delta ,\Delta '} \right)$ và $\left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right|$?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức giá của vectơ để chứng minh: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Lời giải chi tiết:

a) Mối quan hệ của góc $\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)$ và $\left( {\Delta ,\Delta '} \right)$ là: $\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = {90^0} - \left( {\Delta ,\Delta '} \right)$

b) Ta có: +) $\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = {90^0} - \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = {90^0} - \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)$ với $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right) \le {90^o}$

+) $\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = {90^0} - \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = {90^0} - \left[ {{{180}^o} - \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right] =  - {90^o} + \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)$ với $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right) > {90^o}$

Suy ra, $\sin \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right|$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 51 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P), với:

$\Delta :\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{1},\left( P \right):x - y + z - 1 = 0$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)$ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {A;B;C} \right)$.

Khi đó: $\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( { - 1;2;1} \right)$, mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;1} \right)$. Ta có: $\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}$

Do đó, góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P) khoảng $28,{1^0}$.