Giải mục 2 trang 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 61 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M không thuộc các mặt phẳng tọa độ. Vẽ hình hộp chữ nhật OADB.CFME có ba đỉnh A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (H.2.37).
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \) có bằng nhau hay không?
b) Giải thích vì sao có thể viết \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) với x, y, z là các số thực.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để giải thích: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)
b) Sử dụng kiến thức về hệ tọa độ trong không gian để giải thích: Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz (hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz). Điểm O được gọi là gốc tọa độ, các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau và được gọi là các mặt phẳng tọa độ. Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.
Lời giải chi tiết:
a) Vì OADB.CFME là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \)
b) Vì \(\overrightarrow i \) là vectơ đơn vị trên trục Ox nên \(\overrightarrow {OA} = x\overrightarrow i \) với x là số thực.
Vì \(\overrightarrow j \) là vectơ đơn vị trên trục Oy nên \(\overrightarrow {OB} = y\overrightarrow j \) với y là số thực.
Vì \(\overrightarrow k \) là vectơ đơn vị trên trục Oz nên \(\overrightarrow {OC} = z\overrightarrow k \) với z là số thực.
Do đó, \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) với x, y, z là các số thực.
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 62 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm tọa độ của điểm N trong Hình 2.39.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ điểm N: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(M = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(M\left( {x;y;z} \right)\), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow i + 5\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \). Do đó, N(2; 5; 4).
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 62 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 3, hãy xác định tọa độ của các điểm B, D và C’.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ các điểm: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho
Lời giải chi tiết:
Theo Ví dụ 3 ta có: \(m = 2,n = 3,p = 5\).
Vì ABB’O là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OA} = n\overrightarrow j + p\overrightarrow k = 3\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \). Do đó, B(0; 3; 5)
Vì OB’C’D’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OC'} = \overrightarrow {OD'} + \overrightarrow {OB'} = m\overrightarrow i + n\overrightarrow j = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \). Do đó, C’(2; 3; 0)
Vì ADD’A’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD'} = m\overrightarrow i + p\overrightarrow k = 2\overrightarrow i + 5\overrightarrow k \). Do đó, D(2; 0; 5)
VD1
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 62 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong tính huống mở đầu , hãy chọn một hệ tọa độ phù hợp và xác định tọa độ của chiếc bóng đèn với hệ tọa độ đó.
Trong Hình 2.34, một chiếc bóng đèn cách sàn nhà là 2m, cách hai bức tường lần lượt là 1m và 1,5m.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ bóng đèn: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(M = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(M\left( {x;y;z} \right)\), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.
Lời giải chi tiết:
Mô tả: Hệ tọa độ Oxyz có:
+ Mặt phẳng (Oxy) là sàn nhà, hai mặt phẳng (Oyz), (Ozx) hai bức tường. Khi đó, ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.
+ Gốc tọa độ O (trùng với một góc phòng) là giao điểm của ba trục Ox, Oy, Oz.
Khi đó, bóng đèn có tọa độ (1,5; 1; 2).
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 62 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý (H.2.41). Lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow a \) và giải thích vì sao có bộ ba số (x; y; z) sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để giải thích: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(M = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(M\left( {x;y;z} \right)\), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.
Lời giải chi tiết:
Theo khái niệm tọa độ trong không gian ta có: \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \). Mà \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow a \) nên \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \). Do đó, có bộ ba số (x; y; z) sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \).
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 63 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, hãy xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \) là \(\left( {1;2;5} \right)\).
HĐ4
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 63 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right)\) và \(N\left( {x';y';z'} \right)\).
a) Hãy biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {ON} \) qua các vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow k \).
b) Xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {MN} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \), \(\overrightarrow {ON} = x'.\overrightarrow i + y'.\overrightarrow j + z'.\overrightarrow k \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = \left( {x'.\overrightarrow i + y'.\overrightarrow j + z'.\overrightarrow k } \right) - \left( {x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k } \right)\)
\( = \left( {x' - x} \right).\overrightarrow i + \left( {y' - y} \right).\overrightarrow j + \left( {z' - z} \right).\overrightarrow k \)
Do đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {x' - x;y' - y;z' - z} \right)\).
LT5
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 64 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 5, xác định tọa độ của các điểm D và D’ sao cho ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về thiết lập tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {{x_M},{y_M},{z_M}} \right)\) và \(N\left( {{x_N};{y_N};{z_N}} \right)\).
Khi đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Gọi tọa độ của điểm D là (x; y; z), tọa độ của D’ là \(\left( {x';y';z'} \right)\), khi đó \(\overrightarrow {AD} \left( {x - 1;y;z - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {A'D'} \left( {x - 5;y;z - 1} \right)\).
Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì ABCD là hình bình hành.
Do đó, \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 4\\y = - 5\\z - 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - 5\\z = 6\end{array} \right.\). Suy ra \(D\left( {5; - 5;6} \right)\)
Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì A’B’C’D’ là hình bình hành.
Do đó, \(\overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {B'C'} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 = 4\\y = - 5\\z - 1 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = - 5\\z = 5\end{array} \right.\). Suy ra \(D'\left( {9; - 5;5} \right)\)
VD2
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 64 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng lên trên trời (H.2.43). Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890km/h trong nửa giờ. Xác định tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo kilômét.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:
\(890.\frac{1}{2} = 445\left( {km} \right)\)
Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn là (0; 445; 0).