Giải mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( {x';y';z'} \right)$.

a) Giải thích vì sao $\overrightarrow i .\overrightarrow i  = 1$ và $\overrightarrow i .\overrightarrow j  = \overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0$.

b) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow a  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k$ để tính các tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow i ;\overrightarrow a .\overrightarrow j$ và $\overrightarrow a .\overrightarrow k$.

c) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow b  = x'\overrightarrow i  + y'\overrightarrow j  + z'\overrightarrow k$ để tính các tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow b$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ đều khác $\overrightarrow 0$. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b$, được xác định bởi công thức sau: $\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ đều khác $\overrightarrow 0$. Khi đó, $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = 0$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow i .\overrightarrow i  = \left| {\overrightarrow i } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|.\cos {0^0} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1$

Vì $\overrightarrow i  \bot \overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0;\overrightarrow i  \bot \overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0$

b) Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow i  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow i  = x.{\overrightarrow i ^2} + y\overrightarrow {.j} .\overrightarrow i  + z.\overrightarrow k .\overrightarrow i  = x$

$\overrightarrow a .\overrightarrow j  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow j  = x\overrightarrow i .\overrightarrow j  + y{\overrightarrow j ^2} + z\overrightarrow k .\overrightarrow j  = y$

$\overrightarrow a .\overrightarrow k  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right).\overrightarrow k  = x\overrightarrow i .\overrightarrow k  + y\overrightarrow j .\overrightarrow k  + z.{\overrightarrow k ^2} = z$

c) Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right).\left( {x'\overrightarrow i  + y'\overrightarrow j  + z'\overrightarrow k } \right)$

$= xx'{\overrightarrow i ^2} + xy'.\overrightarrow i .\overrightarrow j  + xz'\overrightarrow i .\overrightarrow k  + x'y.\overrightarrow i .\overrightarrow j  + yy'.{\overrightarrow j ^2} + yz'\overrightarrow j .\overrightarrow k  + zx'.\overrightarrow k .\overrightarrow i  + zy'.\overrightarrow k \overrightarrow j  + zz'{\overrightarrow k ^2}$

Mà $\overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0;\overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0;\overrightarrow j .\overrightarrow k  = 0$ nên: $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = xx' + yy' + zz'$

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong Ví dụ 3, tính ${\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( {x';y';z'} \right)$. Ta có:

+ $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)$

+ $k\overrightarrow a  = \left( {kx;ky;kz} \right)$ với k là một số thực.

+ $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = xx' + yy' + zz'$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${\overrightarrow a ^2} = {1^2} + {4^2} + {2^2} = 21;{\overrightarrow b ^2} = {\left( { - 4} \right)^2} + {1^2} + 0 = 17;\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0$

Do đó, ${\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2} = 21 + 2.0 + 17 = 38$

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 70 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho $A\left( {0;2;1} \right),B\left( {3; - 2;1} \right)$ và $C\left( { - 2;5;7} \right)$.

a) Tính chu vi của tam giác ABC.

b) Tính $\widehat {BAC}$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$ thì $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$

b) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính: Nếu $\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( {x';y';z'} \right)$ là hai vectơ khác $\overrightarrow 0$ thì $\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{xx' + yy' + zz'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2} + z{'^2}} }}$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( {3; - 4;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5;$

$\overrightarrow {AC} \left( { - 2;3;6} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} + {6^2}}  = 7$

Vậy chu vi tam giác ABC là:

b) Vì $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{3.\left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right).3 + 0.6}}{{5.7}} = \frac{{ - 18}}{{35}} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) \approx 120,{9^0}$

Nên $\widehat {BAC} = {180^0} - 120,{9^0} = 59,{1^0}$.