Giải mục 2 trang 68,69,70 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Chứng minh rằng, với hai biến cố A và B, $P\left( B \right) > 0$, ta có: $P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để chứng minh: Cho hai biến cố A và B bất kì, với $P\left( B \right) > 0$. Khi đó, $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}$

Lời giải chi tiết:

Với hai biến cố A và B, $P\left( B \right) > 0$, ta có $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}$ nên $P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)$

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trở lại Ví dụ 4. Tính xác suất để:

a) Sơn lấy được bút bi xanh và Tùng lấy được bút bi đen;

b) Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức nhân xác suất để tính: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: $P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi A là biến cố: “Bạn Sơn lấy được bút bi xanh”; B là biến cố: “Bạn Tùng lấy được bút bi đen”.

Vì $n\left( A \right) = 7$ nên $P\left( A \right) = \frac{7}{{12}}$

Nếu A xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi xanh thì trong hộp có 11 bút bi với 5 bút bi đen. Do đó, $P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{{11}}$

Theo công thức nhân xác suất ta có: $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{12}}.\frac{5}{{11}} = \frac{{35}}{{132}}$

b) Dựa vào sơ đồ cây trong Ví dụ 4, xác suất để lấy ra hai bút có cùng màu là: $\frac{5}{{12}}.\frac{4}{{11}} + \frac{7}{{12}}.\frac{6}{{11}} = \frac{{31}}{{66}}$

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trở lại trò chơi “Ô cửa bí mật” trong tình huống mở đầu . Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3.

Kí hiệu ${E_1};{E_2};{E_3}$ tương ứng là các biến cố: “Sau ô cửa số 1 có ô tô”; “Sau ô cửa số 2 có ô tô”; “Sau ô cửa số 3 có ô tô” và H là biến cố: “Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy có con lừa”.

Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi H xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: $P\left( {{E_1}|H} \right)$ và $P\left( {{E_2}|H} \right)$.

a) Chứng minh rằng:

• $P\left( {{E_1}} \right) = P\left( {{E_2}} \right) = P\left( {{E_3}} \right) = \frac{1}{3}$;
• $P\left( {H|{E_1}} \right) = \frac{1}{2}$ và $P\left( {H|{E_2}} \right) = 1$.

b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:

• $P\left( {{E_1}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_1}} \right).P\left( {H|{E_1}} \right)}}{{P\left( H \right)}}$;
• $P\left( {{E_2}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_2}} \right).P\left( {H|{E_2}} \right)}}{{P\left( H \right)}}$.

c) Từ các kết quả trên hãy suy ra: $P\left( {{E_2}|H} \right) = 2P\left( {{E_1}|H} \right)$.

Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyển sang cửa chưa mở còn lại?

Hướng dẫn: Nếu ${E_1}$ xảy ra, tức là sau cửa sổ 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy $P\left( {H|{E_1}} \right) = \frac{1}{2}$.

Nếu ${E_2}$ xảy ra, tức là cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3. Do đó $P\left( {H|{E_2}} \right) = 1$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để chứng minh: Cho hai biến cố A và B bất kì, với $P\left( B \right) > 0$. Khi đó, $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}$

Sử dụng kiến thức về công thức nhân xác suất để tính: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: $P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)$

Lời giải chi tiết:

a) Vì chỉ có một chiếc ô tô đằng sau ba cánh cửa nên $P\left( {{E_1}} \right) = P\left( {{E_2}} \right) = P\left( {{E_3}} \right) = \frac{1}{3}$.

Nếu ${E_1}$ xảy ra, tức là sau cửa sổ 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy $P\left( {H|{E_1}} \right) = \frac{1}{2}$.

Nếu ${E_2}$ xảy ra, tức là cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3. Do đó $P\left( {H|{E_2}} \right) = 1$.

b) Ta có: $P\left( {{E_1}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_1}H} \right)}}{{P\left( H \right)}} = \frac{{P\left( {{E_1}} \right).P\left( {H|{E_1}} \right)}}{{P\left( H \right)}}$,

$P\left( {{E_2}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_2}H} \right)}}{{P\left( H \right)}} = \frac{{P\left( {{E_2}} \right).P\left( {H|{E_2}} \right)}}{{P\left( H \right)}}$.

c) Vì $P\left( {{E_1}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_1}} \right).P\left( {H|{E_1}} \right)}}{{P\left( H \right)}}$, $P\left( {{E_2}|H} \right) = \frac{{P\left( {{E_2}} \right).P\left( {H|{E_2}} \right)}}{{P\left( H \right)}}$, $P\left( {H|{E_1}} \right) = \frac{1}{2}$ và $P\left( {H|{E_2}} \right) = 1$ nên $P\left( {{E_2}|H} \right) = 2P\left( {{E_1}|H} \right)$ do đó người đó nên chuyển sang cửa còn lại.