Giải mục 2 trang 84, 85 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Hoạt động 2

Cho hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ cắt nhau theo giao tuyến $d$. Hãy gọi tên các nửa mặt phẳng có chung bờ $d$. Các nửa mặt phẳng này chia không gian thành bao nhiêu phần?

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh và trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

Các nửa mặt phẳng có chung bờ $d$ là: $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right),\left( {{Q_1}} \right),\left( {{Q_2}} \right)$.

Các nửa mặt phẳng này chia không gian thành 4 phần.

Hoạt động 3

Cho góc nhị diện $\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]$. Gọi $O$ là một điểm tuỳ ý trên $d$. $Ox$ là tia nằm trong $\left( P \right)$ và vuông góc với $d$, $Oy$ là tia nằm trong $\left( Q \right)$ và vuông góc với $d$ (Hình 6).

a) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa $d$ và $mp\left( {Ox,Oy} \right)$.

b) Nêu nhận xét về số đo của góc $xOy$ khi $O$ thay đổi trên $d$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí: Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ thì $d \bot \left( \alpha  \right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}d \bot Ox\\d \bot Oy\end{array} \right\} \Rightarrow d \bot mp\left( {Ox,Oy} \right)$

b) Số đo của góc $xOy$ không đổi khi $O$ thay đổi trên $d$.

Thực hành 2

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ với $O$ là tâm của đáy và có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Xác định và tính góc phẳng nhị diện:

a) $\left[ {S,BC,O} \right]$;

b) $\left[ {C,SO,B} \right]$.

Phương pháp giải:

‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện $\left[ {A,d,B} \right]$: Dựng mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với $d$, gọi $a,a'$ lần lượt là giao tuyến của $\left( P \right)$ với hai nửa mặt phẳng chứa $A,B$, khi đó $\left[ {A,d,B} \right] = \left( {a,a'} \right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

$\Delta SBC$ đều $\Rightarrow SH \bot BC$

$\Delta OBC$ vuông cân tại $O \Rightarrow OH \bot BC$

Vậy $\widehat {SHO}$ là góc phẳng nhị diện $\left[ {S,BC,O} \right]$.

Ta có: $O$ là trung điểm của $BD$

$H$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow OH$ là đường trung bình của $\Delta BC{\rm{D}}$

$\Rightarrow OH = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}$

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2  \Rightarrow OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$\Delta SOH$ vuông tại $O$ có: $SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$\tan \widehat {SHO} = \frac{{SO}}{{OH}} = \sqrt 2  \Rightarrow \widehat {SHO} \approx 54,{7^ \circ }$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OB\\SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OC\end{array}$

Vậy $\widehat {BOC}$ là góc phẳng nhị diện $\left[ {C,SO,B} \right]$.

$ABC{\rm{D}}$ là hình vuông $\Rightarrow \widehat {BOC} = {90^ \circ }$.

Vận dụng 2

Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao 98 m và cạnh đáy 180 m. Tính số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.

( Nguồn : https://en.wikipedia.org/wiki/Memphis Pyramid)

Phương pháp giải:

Cách xác định góc nhị diện $\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]$

Bước 1: Xác định $c = \left( {{P_1}} \right) \cap \left( {{Q_1}} \right)$.

Bước 2: Tìm mặt phẳng $\left( R \right) \supset c$.

Bước 3: Tìm $p = \left( R \right) \cap \left( {{P_1}} \right),q = \left( R \right) \cap \left( {{Q_1}} \right),O = p \cap q,M \in p,N \in q$.

Khi đó $\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right] = \widehat {MON}$.

Lời giải chi tiết:

Mô hình hoá kim tự tháp bằng chóp tứ giác đều $S.ABCD$ với $O$ là tâm của đáy. Vậy $AB = 180,SO = 98$

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

$\Delta SBC$ đều $\Rightarrow SH \bot BC$

$\Delta OBC$ vuông cân tại $O \Rightarrow OH \bot BC$

Vậy $\widehat {SHO}$ là góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.

Ta có: $O$ là trung điểm của $BD$

$H$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow OH$ là đường trung bình của $\Delta BC{\rm{D}}$

$\Rightarrow OH = \frac{1}{2}CD = 90$

$\tan \widehat {SHO} = \frac{{SO}}{{OH}} = \frac{{49}}{{45}} \Rightarrow \widehat {SHO} \approx 47,{4^ \circ }$

Vậy số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy là $47,{4^ \circ }$.