Giải mục 2 và 3 trang 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều — Không quảng cáo

HĐ6

a)     Trong mặt phẳng tọa độ (định hướng) Oxy, hãy vẽ đường tròn tâm O và bán kính bằng 1

b)     Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ hình

Lời giải chi tiết:

a) b)

LT-VD6

Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho $\left( {OA,ON} \right) =  - \frac{\pi }{3}$

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ

Lời giải chi tiết:

HĐ7

a)     Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\left( {OA,OM} \right) = 60^\circ$

b)     So sánh hoành độ của điểm M với $\cos 60^\circ$; tung độ của điểm M với $\sin 60^\circ$

Phương pháp giải:

Dựa vào cách xác định góc bên trên để xác định

Lời giải chi tiết:

a)

b)     $\cos 60^\circ$ bằng hoành độ của điểm M

$\sin 60^\circ$ bằng tung độ của điểm M

LT-VD7

Tìm giác trị lượng giác của góc lượng giác $\beta  =  - \frac{\pi }{4}$

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học để tính

Lời giải chi tiết:

$\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{1}{2};\,\,\cot \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) =  - 2$

HĐ8

Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha  =  - 30^\circ$

Phương pháp giải:

Dựa vào sin, cos, tan, cot đã học ở lớp dưới để xác định

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\cos \left( { - 30^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} > 0\\\sin \left( { - 30^\circ } \right) =  - \frac{1}{2} < 0\\\tan \left( { - 30^\circ } \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3} < 0\\\cot \left( { - 30^\circ } \right) =  - \sqrt 3  < 0\end{array}$

LT-VD8

Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha  = \frac{{5\pi }}{6}$

Phương pháp giải:

Dựa vào bảng xét dấu sau:

Lời giải chi tiết:

Do $\frac{\pi }{2} < \frac{{5\pi }}{6} < \pi$ nên

$\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\\\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) > 0\\\tan \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\\\cot \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\end{array}$

HĐ9

Cho góc lượng giác $\alpha$. So sánh

a)     ${\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \,\,$ và 1

b)     $\tan \alpha .\cot \alpha \,\,$ và 1 với $\cos \alpha  \ne 0;\sin \alpha  \ne 0$

c)     $1 + {\tan ^2}\alpha \,\,$ và  $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ với $\cos \alpha  \ne 0$

d)     $1 + {\cot ^2}\alpha \,$ và  $\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ với $\sin \alpha  \ne 0$

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức của phần phía trên và kiến thức lớp 9 để so sánh

Lời giải chi tiết:

a)     ${\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1$

b)     $\tan \alpha .\cot \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1$

c)     $\frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha  + 1$

d)     $\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha$

LT-VD9

Cho góc lượng giác $\alpha$sao cho $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$ và $\sin \alpha  =  - \frac{4}{5}$. Tìm $\cos \alpha$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác ${\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1$

Lời giải chi tiết:

Vì ${\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1$ nên ${\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( { - \frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}$

Do $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$ nên $\cos \alpha  < 0$. Suy ra $\cos \alpha  =  - \frac{3}{5}$

HĐ10

Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha  = 45^\circ$

Phương pháp giải:

Dựa vào các kiến thức đã học để tính

Lời giải chi tiết:

$\sin \left( {45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\cos \left( {45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\tan \left( {45^\circ } \right) = \frac{1}{2};\,\,\cot \left( {45^\circ } \right) = 2$

LT-VD10

Tính giá trị của biểu thức:

$Q = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{2}$

Phương pháp giải:

Sử dựng bảng lượng giác của các góc đặc biệt

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\begin{array}{l}Q = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{2}\\\,\,\,\,\, = \,{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + 1 + 0 = \frac{7}{2}\end{array}$

HĐ11

Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác $\left( {OA,OM} \right) = \alpha ,\,\,\left( {OA,OM'} \right) =  - \alpha$ (Hình 13)

a)     Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.

b)     Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác $\alpha$ và $- \alpha$

Phương pháp giải:

Dựa vào hình vẽ ( hình 13)

Lời giải chi tiết:

a)  Hoành độ của điểm M và M’ bằng nhau

Tung độ của điểm M và M’ đối nhau

b)  Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác $\alpha$ và $- \alpha$

LT-VD11

a) ${\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8}$

b) $\tan {1^ \circ }.\tan {2^ \circ }.\tan {45^ \circ }.\tan {88^ \circ }.\tan {89^ \circ }$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trong bảng:

Lời giải chi tiết:

a) ${\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{8}} \right) = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\sin ^2}\frac{\pi }{8} = 1$

b)

$\begin{array}{l}\tan {1^ \circ }.\tan {2^ \circ }.\tan {45^ \circ }.\tan {88^ \circ }.\tan {89^ \circ }\\ = (\tan {1^ \circ }.\tan {89^ \circ }).(\tan {2^ \circ }.\tan {88^ \circ }).\tan {45^ \circ }\\ = (\tan {1^ \circ }.\cot {1^ \circ }).(\tan {2^ \circ }.\cot {2^ \circ }).\tan {45^ \circ }\\ = 1\end{array}$

LT-VD12

Dùng máy tính cầm tay để tính ;

a) $\tan ( - {75^ \circ });$b) $\cot \left( { - \frac{\pi }{5}} \right)$

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính cầm tay

Lời giải chi tiết:

a) $\tan ( - {75^ \circ }) =  - 2 - \sqrt 3$

b) $\cot \left( { - \frac{\pi }{5}} \right) \approx  - 1,376$