Giải mục 3 trang 82, 83 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Hoạt động 3

Cho hai hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}$ và $y = g\left( x \right) = \sqrt {4 - x}$.

a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã cho.

b) Mỗi hàm số trên liên tục trên những khoảng nào? Giải thích.

Phương pháp giải:

a) Điều kiện để hàm số có nghĩa là mẫu khác 0 và biểu thức trong căn không âm.

b) Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.

Lời giải chi tiết:

a) • $y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}$

ĐKXĐ: $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$

Vậy hàm số có tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

• $y = g\left( x \right) = \sqrt {4 - x}$

ĐKXĐ: $4 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 4$

Vậy hàm số có tập xác định: $D = \left( { - \infty ;4} \right]$.

b) • Với mọi ${x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)$, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1}} = \frac{1}{{{x_0} - 1}} = f\left( {{x_0}} \right)$

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)$.

Tương tự ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left( {1; + \infty } \right)$.

Ta có: Hàm số không xác định tại điểm ${x_0} = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x - 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{x - 1}} =  - \infty$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$.

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ không liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

• Với mọi ${x_0} \in \left( { - \infty ;4} \right)$, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {4 - x}  = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 4 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x}  = \sqrt {4 - {x_0}}  = g\left( {{x_0}} \right)$

Vậy hàm số $y = g\left( x \right)$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left( { - \infty ;4} \right)$.

Ta có: $g\left( 4 \right) = \sqrt {4 - 4}  = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \sqrt {4 - x}  = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} 4 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} x}  = \sqrt {4 - 4}  = 0 = g\left( 4 \right)$

Vậy hàm số $y = g\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 4$.

Hàm số không xác định tại mọi ${x_0} \in \left( {4; + \infty } \right)$ nên hàm số $y = g\left( x \right)$ không liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left( {4; + \infty } \right)$.

Vậy hàm số $y = g\left( x \right)$ liên tục trên nửa khoảng $\left( { - \infty ;4} \right]$.

Thực hành 3

Xét tính liên tục của hàm số $y = \sqrt {{x^2} - 4}$.

Phương pháp giải:

Để tính xét tính liên tục của hàm số, ta tìm những khoảng xác định của hàm số đó.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: ${x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  - 2\end{array} \right.$

Vậy hàm số có TXĐ: $D = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.

Hàm số $y = \sqrt {{x^2} - 4}$ là hàm số căn thức nên nó liên tục trên các nửa khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \sqrt {{x^2} - 4}  = \sqrt {{2^2} - 4}  = 0 = f\left( 2 \right)$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \sqrt {{x^2} - 4}  = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 4}  = 0 = f\left( { - 2} \right)$

Vậy hàm số $y = \sqrt {{x^2} - 4}$ liên tục trên các nửa khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right]$ và $\left[ {2; + \infty } \right)$.

Thực hành 4

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 2x}}{x}}&{khi\,\,x \ne 0}\\a&{khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.$.

Tìm $a$ để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.

Bước 2: Tính $f\left( 0 \right)$.

Bước 3: Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$.

Bước 4: Giải phương trình $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$.

Lời giải chi tiết:

Trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$, $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{x}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có: $f\left( 0 \right) = a$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - 2x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 2} \right) = 0 - 2 =  - 2$

Để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ phải liên tục tại điểm ${x_0} = 0$.  Khi đó:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a =  - 2$.

Vậy với $a =  - 2$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Vận dụng 2

Một hãng taxi đưa ra giá cước $T\left( x \right)$ (đồng) khi đi quãng đường $x$ (km) cho loại xe 4 chỗ như sau:

$T\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10000}&{khi\,\,0 < x \le 0,7}\\{ - 10000 + \left( {x - 0,7} \right).14000}&{khi{\rm{ }}0,7 < x \le 20}\\{280200 + \left( {x--20} \right).12000}&{khi{\rm{ }}x > 20}\end{array}} \right.$

Xét tính liên tục của hàm số $T\left( x \right)$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.

Bước 3: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm ${x_0} = 0,7$ và ${x_0} = 20$.

Bước 4: Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Hàm số $T\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Hàm số $T\left( x \right)$ xác định trên từng khoảng $\left( {0;0,7} \right),\left( {0,7;20} \right)$ và $\left( {20; + \infty } \right)$ nên hàm số liên tục trên các khoảng đó.

Ta có: $T\left( {0,7} \right) = 10000$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ + }} \left( {10000 + \left( {x - 0,7} \right).14000} \right) = 10000 + \left( {0,7 - 0,7} \right).14000 = 10000\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ - }} 10000 = 10000\end{array}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ - }} T\left( x \right) = 10000$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,7} T\left( x \right) = 10000 = T\left( {0,7} \right)$.

Vậy hàm số $T\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 0,7$.

Ta có: $T\left( {20} \right) = 10000 + \left( {20 - 0,7} \right).14000 = 280200$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} \left( {280200 + \left( {x - 20} \right).12000} \right) = 280200 + \left( {20 - 20} \right).12000 = 280200\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ - }} \left( {10000 + \left( {x - 0,7} \right).14000} \right) = 10000 + \left( {20 - 0,7} \right).14000 = 280200\end{array}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ - }} T\left( x \right) = 280200$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 20} T\left( x \right) = 280200 = T\left( {20} \right)$.

Vậy hàm số $T\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 20$.

Vậy hàm số $T\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$.