Giải mục 3 trang 73, 74, 75 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Hoạt động 3

Giá cước vận chuyển bưu kiện giữa hai thành phố do một đơn vị cung cấp được cho bởi bảng sau:

Nếu chỉ xét trên khoảng từ 0 đến 5 (tính theo 100 gam) thì hàm số giả cước (tính theo nghìn đồng) xác định như sau:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}6&{khi\,\,x \in \left( {0;1} \right]}\\7&{khi\,\,x \in \left( {1;2,5} \right]}\\{10}&{khi\,\,x \in \left( {2,5;5} \right]}\end{array}} \right.$

Đồ thị của hàm số như Hình 2.

a) Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì sao cho $x \in \left( {1;2,5} \right)$ và $\lim {x_n} = 1$. Tìm $\lim f\left( {{x_n}} \right)$.

b) Giả sử $\left( {{x_n}'} \right)$ là dãy số bất kì sao cho ${x_n}' \in \left( {0;1} \right)$ và $\lim {x_n}' = 1$. Tìm $\lim f\left( {{x_n}'} \right)$.

c) Nhận xét về kết quả ở a) và b)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính giới hạn của hằng số.

Lời giải chi tiết:

a) Khi $x \in \left( {1;2,5} \right)$ thì $f\left( {{x_n}} \right) = 7$ nên $\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim 7 = 7$.

b) Khi ${x_n}' \in \left( {0;1} \right)$ thì $f\left( {{x_n}'} \right) = 6$ nên $\lim f\left( {{x_n}'} \right) = \lim 6 = 6$.

c) Ta thấy $\lim {x_n} = \lim {x_n}' = 1$ nhưng $\lim f\left( {{x_n}} \right) \ne \lim f\left( {{x_n}'} \right)$

Thực hành 3

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 2x}&{khi\,\,x \le  - 1}\\{{x^2} + 2}&{khi\,\,x >  - 1}\end{array}} \right.$.

Tìm các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right)$ (nếu có).

Phương pháp giải:

− Để tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)$, ta áp dụng định lý về giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của hàm số.

− Để tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right)$, ta so sánh hai giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)$.

• Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right) = L$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right) = L$.

• Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)$ thì không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì, ${x_n} >  - 1$ và ${x_n} \to  - 1$. Khi đó $f\left( {{x_n}} \right) = x_n^2 + 2$

Ta có: $\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {x_n^2 + 2} \right) = \lim x_n^2 + \lim 2 = {\left( { - 1} \right)^2} + 2 = 3$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = 3$.

Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì, ${x_n} <  - 1$ và ${x_n} \to  - 1$. Khi đó $f\left( {{x_n}} \right) = 1 - 2{x_n}$.

Ta có: $\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {1 - 2{x_n}} \right) = \lim 1 - \lim \left( {2{x_n}} \right) = \lim 1 - 2\lim {x_n} = 1 - 2.\left( { - 1} \right) = 3$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) = 3$.

b) Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right) = 3$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right) = 3$.