Giải mục 3 trang 59, 60 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Hoạt động 3

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội $q$. Đặt ${S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}$.

a) So sánh $q.{S_n}$ và $\left( {{u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n}$.

b) So sánh ${u_1} + q.{S_n}$ và ${S_n} + {u_1}.{q^n}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát là: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$q.{S_n} = q.\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) = {u_1}.q + {u_2}.q + ... + {u_n}.q = \left( {{u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n}$

b) Ta có:

${u_1} + q.{S_n} = {u_1} + \left( {{u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n} = \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) + q.{u_n} = {S_n} + {u_1}.{q^n}$

Thực hành 3

Tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ trong các trường hợp sau:

a) ${u_1} = {10^5};q = 0,1;n = 5$;

b) ${u_1} = 10;{u_2} =  - 20;n = 5$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$ là: ${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$.

Lời giải chi tiết:

a) ${S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{{{10}^5}\left( {1 - {{\left( {0,1} \right)}^5}} \right)}}{{1 - 0,1}} = 111110$.

b) Ta có: ${u_2} = {u_1}.q \Leftrightarrow  - 20 = 10.q \Leftrightarrow q =  - 2$

${S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{10\left( {1 - {{\left( { - 2} \right)}^5}} \right)}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 110$.

Vận dụng 4

Trong bài toán ở Hoạt động mở đầu đầu bài học, tính tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$ là: ${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có dãy số chỉ độ cao của quả bóng là một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 120$ và công bội $q = \frac{1}{2}$.

Tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên là:

${S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{120\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 239,765625\left( {cm} \right)$.