Giải mục 3 trang 77, 78 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Hoạt động 3

Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $b$ và song song với $a$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $a$, vuông góc với $\left( Q \right)$ và cắt $b$ tại điểm $J$. Trong $\left( P \right)$, gọi $c$ là đường thẳng đi qua $J$, vuông góc với $a$ và cắt $a$ tại điểm $I$.

Đường thẳng $IJ$ có vuông góc với $b$ không? Giải thích.

Phương pháp giải:

Chứng minh $IJ$ vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa đường thẳng $b$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $\left( R \right)$ là mặt phẳng chứa $a$và song song với $\left( Q \right)$. Ta có:

$\left. \begin{array}{l}\left( Q \right)\parallel \left( R \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = a'\\\left( P \right) \cap \left( R \right) = a\end{array} \right\} \Rightarrow a\parallel a'$

Mà $IJ \bot a \Rightarrow IJ \bot a'$

$\left. \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = a'\\IJ \subset \left( P \right),IJ \bot a'\end{array} \right\} \Rightarrow IJ \bot \left( Q \right)$

Mà $b \subset \left( Q \right) \Rightarrow IJ \bot b$.

Thực hành 3

Cho tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA,OB,OC$ đều bằng $a$ và vuông góc từng đôi một. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) $OA$ và $BC$;

b) $OB$ và $AC$.

Phương pháp giải:

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.

Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Tam giác $OBC$ vuông cân tại $O \Rightarrow OM \bot BC$

$\left. \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right\} \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot OM$

$\Rightarrow d\left( {OA,BC} \right) = OM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\sqrt {O{B^2} + O{C^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

b) Gọi $N$ là trung điểm của $AC$.

Tam giác $OAC$ vuông cân tại $O \Rightarrow ON \bot AC$

$\left. \begin{array}{l}OA \bot OB\\OB \bot OC\end{array} \right\} \Rightarrow OB \bot \left( {OAC} \right) \Rightarrow OB \bot ON$

$\Rightarrow d\left( {OB,AC} \right) = ON = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{C^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Vận dụng 2

Một căn phòng có trần cao 3,2 m. Tỉnh khoảng cách giữa một đường thẳng $a$ trên trần nhà và đường thẳng $b$ trên sàn nhà.

Phương pháp giải:

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.

Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết:

Vì trần nhà và sàn nhà song song với nhau nên đường thẳng $a$ nằm trên trần nhà song song với sàn nhà.

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng $a$ trên trần nhà và đường thẳng $b$ trên sàn nhà bằng khoảng cách giữa trần nhà và sàn nhà. Khoảng cách đó bằng 3,2 m.