Giải mục 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Hoạt động 4

Cho hai dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ và $\left( {{b_n}} \right)$ được xác định như sau: ${a_n} = 3n + 1;$ ${b_n} =  - 5n$.

a) So sánh ${a_n}$ và ${a_{n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

b) So sánh ${b_n}$ và ${b_{n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Phương pháp giải:

a) Tìm ${a_{n + 1}}$ rồi xét hiệu ${a_{n + 1}} - {a_n}$.

b) Tìm ${b_{n + 1}}$ rồi xét hiệu ${b_{n + 1}} - {b_n}$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: ${a_{n + 1}} = 3\left( {n + 1} \right) + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4$

Xét hiệu: ${a_{n + 1}} - {a_n} = \left( {3n + 4} \right) - \left( {3n + 1} \right) = 3n + 4 - 3n - 1 = 3 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Vậy ${a_{n + 1}} > {a_n}$.

a) Ta có: ${b_{n + 1}} =  - 5\left( {n + 1} \right) =  - 5n - 5$

Xét hiệu: ${b_{n + 1}} - {b_n} = \left( { - 5n - 5} \right) - \left( { - 5n} \right) =  - 5n - 5 + 5n =  - 5 < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Vậy ${b_{n + 1}} < {b_n}$.

Thực hành 3

Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}$;

b) $\left( {{x_n}} \right)$ với ${x_n} = \frac{{n + 2}}{{{4^n}}}$;

c) $\left( {{t_n}} \right)$ với ${t_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.{n^2}$.

Phương pháp giải:

Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$:

Bước 1: Tìm ${u_{n + 1}}$.

Bước 2: Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$ hoặc xét thương $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ nếu các số hạng của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là số dương.

Bước 3: Kết luận:

– Nếu ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0$ hoặc $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1$ thì ${u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

– Nếu ${u_{n + 1}} - {u_n} < 0$ hoặc $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1$ thì ${u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 - 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}$

Xét hiệu:

$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) - \left( {2{n^2} - n + 4n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 - 2{n^2} + n - 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}$

Vậy ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}$. Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

b) Ta có: ${x_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 2}}{{{4^{n + 1}}}} = \frac{{n + 1 + 2}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}}$

Xét hiệu:

${x_{n + 1}} - {x_n} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}} - \frac{{n + 2}}{{{4^n}}} = \frac{{n + 3 - 4\left( {n + 2} \right)}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3 - 4n - 8}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{ - 3n - 5}}{{{{4.4}^n}}} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Vậy ${x_{n + 1}} - {x_n} < 0 \Leftrightarrow {x_{n + 1}} < {x_n}$. Vậy dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số giảm.

c) Ta có: ${t_1} = {\left( { - 1} \right)^1}{.1^2} =  - 1;{t_2} = {\left( { - 1} \right)^2}{.2^2} = 4;{t_3} = {\left( { - 1} \right)^3}{.3^2} =  - 9$, suy ra ${t_1} < {t_2},{t_2} > {t_3}$. Vậy $\left( {{t_n}} \right)$ là dãy số không tăng không giảm.

a) Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 - 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}$

Xét hiệu:

$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) - \left( {2{n^2} - n + 4n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 - 2{n^2} + n - 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}$

Vậy ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}$ . Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

b) Ta có: ${x_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 2}}{{{4^{n + 1}}}} = \frac{{n + 1 + 2}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}}$

Xét hiệu:

${x_{n + 1}} - {x_n} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}} - \frac{{n + 2}}{{{4^n}}} = \frac{{n + 3 - 4\left( {n + 2} \right)}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3 - 4n - 8}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{ - 3n - 5}}{{{{4.4}^n}}} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Vậy ${x_{n + 1}} - {x_n} < 0 \Leftrightarrow {x_{n + 1}} < {x_n}$ . Vậy dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số giảm.

c) Ta có: ${t_1} = {\left( { - 1} \right)^1}{.1^2} = - 1;{t_2} = {\left( { - 1} \right)^2}{.2^2} = 4;{t_3} = {\left( { - 1} \right)^3}{.3^2} = - 9$ , suy ra ${t_1} < {t_2},{t_2} > {t_3}$ . Vậy $\left( {{t_n}} \right)$ là dãy số không tăng không giảm.

Vận dụng 3

Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 2).

a) Gọi ${u_1} = 25$ là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, ${u_n}$ là số cột gỗ có ở hàng thứ $n$ tính từ dưới lên trên. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

b) Gọi ${v_1} = 14$ là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, ${v_n}$ là số cột gỗ có ở hàng thứ $n$ tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

Phương pháp giải:

Đưa dãy số về công thức truy hồi rồi xét hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}{u_1} = 25\\{u_2} = 24 = {u_1} - 1\\{u_3} = 23 = {u_2} - 1\\ \vdots \end{array}$

Vậy công thức truy hồi: ${u_n} = {u_{n - 1}} - 1\left( {n \ge 2} \right) \Leftrightarrow {u_n} - {u_{n - 1}} =  - 1 < 0$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}{v_1} = 14\\{v_2} = 15 = {v_1} + 1\\{v_3} = 16 = {v_2} + 1\\ \vdots \end{array}$

Vậy công thức truy hồi: ${v_n} = {v_{n - 1}} + 1\left( {n \ge 2} \right) \Leftrightarrow {v_n} - {v_{n - 1}} = 1 > 0$.

Vậy $\left( {{v_n}} \right)$ là dãy số tăng.