Giải mục 3 trang 44 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Hoạt động 3

Cho biết $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \sin x$.

Phương pháp giải:

Tính giới hạn $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$.

Lời giải chi tiết:

Với bất kì ${x_0} \in \mathbb{R}$, ta có:

$f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin x - \sin {x_0}}}{{x - {x_0}}}$

Đặt $x = {x_0} + \Delta x$. Ta có:

$\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {{x_0} + \Delta x} \right) - \sin {x_0}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin {x_0}\cos \Delta x + \cos {x_0}\sin \Delta x - \sin {x_0}}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin {x_0}\cos \Delta x - \sin {x_0}}}{{\Delta x}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cos {x_0}\sin \Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin {x_0}\left( {\cos \Delta x - 1} \right)}}{{\Delta x}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos {x_0}.\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \Delta x}}{{\Delta x}}\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin {x_0}\left( {\cos \Delta x - 1} \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin {x_0}\left( {\cos \Delta x - 1} \right)\left( {\cos \Delta x + 1} \right)}}{{\Delta x\left( {\cos \Delta x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin {x_0}\left( {{{\cos }^2}\Delta x - 1} \right)}}{{\Delta x\left( {\cos \Delta x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin {x_0}\left( { - {{\sin }^2}\Delta x} \right)}}{{\Delta x\left( {\cos \Delta x + 1} \right)}} =  - \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \Delta x}}{{\Delta x}}.\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin {x_0}.\sin \Delta x}}{{\left( {\cos \Delta x + 1} \right)}} =  - 1.\frac{{\sin {x_0}.\sin 0}}{{\cos 0 + 1}} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos {x_0}.\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \Delta x}}{{\Delta x}} = \cos {x_0}.1 = \cos {x_0}\end{array}$

Vậy $f'\left( {{x_0}} \right) = \cos {x_0}$

Vậy $f'\left( x \right) = \cos x$ trên $\mathbb{R}$.

Thực hành 4

Tính đạo hàm của hàm số $y = \tan x$ tại $x = \frac{{3\pi }}{4}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y' = {\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$

Vậy $y'\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)}} = 2$.